与えられた積分を計算します。 $\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx = 4 \int \sec 2x dx - 2 \int \csc \frac{x}{3} dx$

$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$ を利用すると、置換積分により

$\int \sec 2x dx = \frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C$

$\int \csc x dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C$ を利用すると、置換積分により

$\int \csc \frac{x}{3} dx = -3 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$

したがって、

$4 \int \sec 2x dx = 4 \cdot \frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C = 2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C$

$-2 \int \csc \frac{x}{3} dx = -2 \cdot (-3) \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C = 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$

よって、

$\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx = 2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$

3. 最終的な答え

$2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$