与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int (\frac{1}{2} \csc^2{\frac{x}{2}} - 6 \sec^2{3x}) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int (\frac{1}{2} \csc^2{\frac{x}{2}} - 6 \sec^2{3x}) dx$

2. 解き方の手順

積分を2つの部分に分けます。

$\int \frac{1}{2} \csc^2{\frac{x}{2}} dx - \int 6 \sec^2{3x} dx$

最初の積分を計算します。$\int \csc^2{u} du = -\cot{u} + C$ を用いて、置換積分を行います。

$u = \frac{x}{2}$ とおくと、$du = \frac{1}{2} dx$ となり、$dx = 2 du$ となります。

$\int \frac{1}{2} \csc^2{\frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \csc^2{u} (2 du) = \int \csc^2{u} du = -\cot{u} + C_1 = -\cot{\frac{x}{2}} + C_1$

次に、2番目の積分を計算します。$\int \sec^2{u} du = \tan{u} + C$ を用いて、置換積分を行います。

$v = 3x$ とおくと、$dv = 3 dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} dv$ となります。

$\int 6 \sec^2{3x} dx = 6 \int \sec^2{v} (\frac{1}{3} dv) = 2 \int \sec^2{v} dv = 2 \tan{v} + C_2 = 2 \tan{3x} + C_2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int (\frac{1}{2} \csc^2{\frac{x}{2}} - 6 \sec^2{3x}) dx = -\cot{\frac{x}{2}} - 2 \tan{3x} + C$

3. 最終的な答え

$-\cot{\frac{x}{2}} - 2 \tan{3x} + C$