三角形ABCにおいて、辺AB上に点D, 辺AC上に点Eを取り、直線DEと辺BCの延長線との交点をFとする。AD:DB = 2:3, BC:CF = 2:1 のとき、三角形ADEと三角形ABCの面積比を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB上に点D, 辺AC上に点Eを取り、直線DEと辺BCの延長線との交点をFとする。AD:DB = 2:3, BC:CF = 2:1 のとき、三角形ADEと三角形ABCの面積比を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を三角形ABFと直線DEに適用します。

メネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BC}{CF} \cdot \frac{FE}{EA} = 1$

問題文より、AD:DB = 2:3, BC:CF = 2:1 なので、

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{FE}{EA} = 1$

$\frac{FE}{EA} = \frac{1}{2}$

よって、AE:EF = 2:1 なので、AE:AF = 2:3となります。

AF = AE + EF。

AE:AC = AE:(AE+EC).

次に、メネラウスの定理を三角形ACFと直線BDに適用します。

$\frac{AD}{DB} * \frac{BC}{CF} * \frac{FE}{EA} = 1$

$\frac{AD}{DB} * \frac{BC}{CF} = \frac{EA}{FE}$

$\frac{2}{3} * \frac{2}{1} = \frac{EA}{FE}$

$\frac{EA}{FE} = \frac{4}{3}$

$AE:EF=4:3$なので、$AE:AF=4:7$

$AF = AC + CF$

$\frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$, $\frac{AE}{AC} = x$とすると、面積比$\frac{\triangle ADE}{\triangle ABC} = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AE}{AC} = \frac{2}{5} x$

$\frac{AF}{AC} = \frac{7}{4} = 1 + \frac{CF}{AC}$

$\frac{3}{2} = \frac{AC}{BC}$なので、$CF:BC = \frac{3}{2}$. したがって、$AC=BC$.

$BC = AC=2$.

$CF = 1$.

$AF = 3$

すると

$\frac{AF}{AC} = \frac{AE+EF}{AE+EC}$

三角形ADEの面積をS1、三角形ABCの面積をS2とすると

$\frac{S1}{S2} = \frac{AD}{AB} \frac{AE}{AC} = \frac{2}{5} \frac{AE}{AC}$

メネラウスの定理より$\frac{AD}{DB} \frac{BF}{FC} \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{2}{3} \frac{3}{1} \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{CE}{EA} = \frac{1}{2}$

よって$AE:EC = 2:1$

$\frac{AE}{AC} = \frac{2}{3}$

$\frac{S1}{S2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$

3. 最終的な答え

4:15

③