与えられた点を通り、与えられた直線に平行な直線 $l$ の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) 点 $(2, 5)$ を通り、直線 $y = 2x - 3$ に平行な直線。 (2) 点 $(-2, -1)$ を通り、直線 $3x - 2y + 5 = 0$ に平行な直線。 (3) 点 $(6, 4)$ を通り、直線 $x + 2y - 4 = 0$ に平行な直線。 (4) 点 $(1, 2)$ を通り、直線 $x = 3$ に平行な直線。

1. 問題の内容

与えられた点を通り、与えられた直線に平行な直線 $l$ の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) 点 $(2, 5)$ を通り、直線 $y = 2x - 3$ に平行な直線。

(2) 点 $(-2, -1)$ を通り、直線 $3x - 2y + 5 = 0$ に平行な直線。

(3) 点 $(6, 4)$ を通り、直線 $x + 2y - 4 = 0$ に平行な直線。

(4) 点 $(1, 2)$ を通り、直線 $x = 3$ に平行な直線。

2. 解き方の手順

直線 $l$ の方程式は、与えられた直線に平行であることから、傾きが同じであることを利用して求めます。

(1) $y = 2x - 3$ に平行な直線は、傾きが2です。よって、求める直線の方程式は、$y = 2x + b$ とおけます。この直線が点 $(2, 5)$ を通ることから、

$5 = 2(2) + b$

$5 = 4 + b$

$b = 1$

したがって、求める直線の方程式は $y = 2x + 1$ です。

(2) $3x - 2y + 5 = 0$ を $y$ について解くと、

$2y = 3x + 5$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$

この直線に平行な直線は、傾きが $\frac{3}{2}$ です。よって、求める直線の方程式は、$y = \frac{3}{2}x + b$ とおけます。この直線が点 $(-2, -1)$ を通ることから、

$-1 = \frac{3}{2}(-2) + b$

$-1 = -3 + b$

$b = 2$

したがって、求める直線の方程式は $y = \frac{3}{2}x + 2$ です。変形して、$2y = 3x + 4$ となり、$3x - 2y + 4 = -4 + 4 = 0$、つまり $3x - 2y + 4 = 0$ です。

(3) $x + 2y - 4 = 0$ を $y$ について解くと、

$2y = -x + 4$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

この直線に平行な直線は、傾きが $-\frac{1}{2}$ です。よって、求める直線の方程式は、$y = -\frac{1}{2}x + b$ とおけます。この直線が点 $(6, 4)$ を通ることから、

$4 = -\frac{1}{2}(6) + b$

$4 = -3 + b$

$b = 7$

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x + 7$ です。変形して、$2y = -x + 14$ となり、$x + 2y - 14 = 0$ です。

(4) $x = 3$ は $y$ 軸に平行な直線です。点 $(1, 2)$ を通り、$x = 3$ に平行な直線は、$x = 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x + 1$

(2) $3x - 2y + 4 = 0$

(3) $x + 2y - 14 = 0$

(4) $x = 1$