問題は、直角三角形ABCにおいて、(1)ベクトルBAとベクトルACの内積、(2)ベクトルACとベクトルBCの内積を求める問題です。三角形の各辺の長さはAB=2、AC=√3、BC=1であり、∠BAC=30°、∠ABC=60°、∠ACB=90°です。

1. 問題の内容

問題は、直角三角形ABCにおいて、(1)ベクトルBAとベクトルACの内積、(2)ベクトルACとベクトルBCの内積を求める問題です。三角形の各辺の長さはAB=2、AC=√3、BC=1であり、∠BAC=30°、∠ABC=60°、∠ACB=90°です。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルBAとベクトルACの内積

まず、ベクトルBAとベクトルACのなす角を求めます。これは∠BACと同じなので30°です。

内積の定義より、

$\vec{BA} \cdot \vec{AC} = |\vec{BA}| |\vec{AC}| \cos{30^\circ}$

$|\vec{BA}| = 2$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3}$

$\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\vec{BA} \cdot \vec{AC} = 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

(2) ベクトルACとベクトルBCの内積

ベクトルACとベクトルBCのなす角は90°です。

内積の定義より、

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| |\vec{BC}| \cos{90^\circ}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3}$

$|\vec{BC}| = 1$

$\cos{90^\circ} = 0$

したがって、

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \sqrt{3} \times 1 \times 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{BA} \cdot \vec{AC} = 3$

(2) $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0$