縦、横、高さがそれぞれa, b, cである直方体の対角線の長さを求める問題。まず、図の直方体におけるFH=d, BH=xとおき、$\triangle FGH$で$d$を求め、次に$\triangle BFH$で$x$を求める。最後に、一辺が5cmの立方体の対角線の長さを求める。

1. 問題の内容

縦、横、高さがそれぞれa, b, cである直方体の対角線の長さを求める問題。まず、図の直方体におけるFH=d, BH=xとおき、$\triangle FGH$で$d$を求め、次に$\triangle BFH$で$x$を求める。最後に、一辺が5cmの立方体の対角線の長さを求める。

2. 解き方の手順

* $\triangle FGH$は直角三角形なので、三平方の定理より、$d^2 = a^2 + b^2$となり、$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

* $\triangle BFH$は直角三角形なので、三平方の定理より、$x = \sqrt{c^2 + d^2}$に$d = \sqrt{a^2 + b^2}$を代入すると、$x = \sqrt{c^2 + a^2 + b^2}$となる。

* よって、縦、横、高さがそれぞれa, b, cの直方体の対角線の長さは$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$である。

* 一辺が5cmの立方体は、$a=b=c=5$であるから、対角線の長さは$\sqrt{5^2+5^2+5^2} = \sqrt{3 \times 5^2} = 5\sqrt{3}$ cmとなる。

3. 最終的な答え

$\triangle FGH$で考えると $d = \sqrt{a^2+b^2}$ となり、

次に$\triangle BFH$で考えると$x = \sqrt{c^2+a^2+b^2}$ となることがわかる。

よって、縦、横、高さがそれぞれa, b, cの直方体の対角線の長さは $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ である。

これを利用すると、1辺が5cmの立方体の対角線の長さは $5\sqrt{3}$ cmであることが求められる。