数列 $\{a_n\}$ が与えられており、 $a_1 = \frac{1}{3}$, $(1-a_{n+1})(1+2a_n)=1$ ( $n=1, 2, 3, \dots$ ) を満たす。 (1) すべての正の整数 $n$ に対して $a_n \ge \frac{1}{3}$ であることを数学的帰納法によって証明する。 (2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、

$a_1 = \frac{1}{3}$, $(1-a_{n+1})(1+2a_n)=1$ ( $n=1, 2, 3, \dots$ ) を満たす。

(1) すべての正の整数 $n$ に対して $a_n \ge \frac{1}{3}$ であることを数学的帰納法によって証明する。

(2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で $a_n \ge \frac{1}{3}$ を証明する。

(i) $n=1$ のとき: $a_1 = \frac{1}{3} \ge \frac{1}{3}$ なので成立する。

(ii) $n=k$ のとき $a_k \ge \frac{1}{3}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき:

$(1-a_{k+1})(1+2a_k) = 1$ より、

$1-a_{k+1} = \frac{1}{1+2a_k}$

$a_{k+1} = 1 - \frac{1}{1+2a_k} = \frac{1+2a_k - 1}{1+2a_k} = \frac{2a_k}{1+2a_k}$

$a_k \ge \frac{1}{3}$ なので $2a_k \ge \frac{2}{3}$

$a_{k+1} - \frac{1}{3} = \frac{2a_k}{1+2a_k} - \frac{1}{3} = \frac{6a_k - (1+2a_k)}{3(1+2a_k)} = \frac{4a_k - 1}{3(1+2a_k)}$

$a_k \ge \frac{1}{3}$ より $4a_k \ge \frac{4}{3} > 1$ なので、$4a_k - 1 > 0$

また、$3(1+2a_k) > 0$ なので、$a_{k+1} - \frac{1}{3} > 0$。したがって、$a_{k+1} > \frac{1}{3}$ が成立する。

よって、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n \ge \frac{1}{3}$ である。

(2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、

$a_n = \frac{1}{b_n}$ より、$(1-a_{n+1})(1+2a_n) = 1$ に代入すると、

$(1-\frac{1}{b_{n+1}})(1+\frac{2}{b_n}) = 1$

$\frac{b_{n+1}-1}{b_{n+1}} \cdot \frac{b_n+2}{b_n} = 1$

$(b_{n+1}-1)(b_n+2) = b_{n+1}b_n$

$b_{n+1}b_n + 2b_{n+1} - b_n - 2 = b_{n+1}b_n$

$2b_{n+1} - b_n - 2 = 0$

$2b_{n+1} = b_n + 2$

$b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + 1$

(3) $b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + 1$ より、特性方程式 $x = \frac{1}{2} x + 1$ を解くと $x = 2$。

したがって、$b_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(b_n - 2)$

数列 $\{b_n - 2\}$ は、初項 $b_1 - 2 = \frac{1}{a_1} - 2 = 3 - 2 = 1$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

よって、$b_n - 2 = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$b_n = (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^{n-1} + 2} = \frac{1}{2^{1-n} + 2} = \frac{2^{n-1}}{1 + 2^n}$

3. 最終的な答え

(1) すべての正の整数 $n$ に対して $a_n \ge \frac{1}{3}$

(証明は上記参照)

(2) $b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n + 1$

(3) $a_n = \frac{2^{n-1}}{1+2^n}$