女子5人と男子3人が1列に並ぶとき、以下の並び方は何通りあるか。 (1) 女子5人が続いて並ぶ。 (2) 女子5人と男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。 (3) 両端が男子である。 (4) どの男子も隣り合わない。

以下に、提示された問題に対する解答を示します。

1. 問題の内容

女子5人と男子3人が1列に並ぶとき、以下の並び方は何通りあるか。

(1) 女子5人が続いて並ぶ。

(2) 女子5人と男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。

(3) 両端が男子である。

(4) どの男子も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合：

まず、女子5人をひとまとめにして1つのグループと考えます。すると、全体では「女子グループ」と男子3人の合計4つのものを並べることになります。この4つのものの並べ方は $4!$ 通りです。

そして、女子グループの中で5人の女子の並び方が $5!$ 通りあります。

したがって、求める並び方は $4! \times 5!$ 通りです。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$

(2) 女子5人と男子3人がそれぞれ続いて並ぶ場合：

女子5人のグループと男子3人のグループを考えます。この2つのグループの並べ方は $2!$ 通りです。

女子グループの中で5人の女子の並び方は $5!$ 通り、男子グループの中で3人の男子の並び方は $3!$ 通りです。

したがって、求める並び方は $2! \times 5! \times 3!$ 通りです。

$2! = 2 \times 1 = 2$

$5! = 120$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$

(3) 両端が男子である場合：

まず、両端に男子を配置します。3人の男子の中から2人を選んで両端に並べる方法は $3P2$ 通りです。

残りの6人（女子5人と男子1人）を両端に並べた2人の間に並べる方法は $6!$ 通りです。

したがって、求める並び方は $3P2 \times 6!$ 通りです。

$3P2 = 3 \times 2 = 6$

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$3P2 \times 6! = 6 \times 720 = 4320$

(4) どの男子も隣り合わない場合：

まず、女子5人を並べます。この並べ方は $5!$ 通りです。

次に、女子5人の間にできる6つのスペース（両端を含む）から3つを選び、そこに男子を配置します。この選び方は $6C3$ 通りです。

そして、選んだ3つのスペースに男子を並べる方法は $3!$ 通りです。

したがって、求める並び方は $5! \times 6C3 \times 3!$ 通りです。

$5! = 120$

$6C3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$3! = 6$

$5! \times 6C3 \times 3! = 120 \times 20 \times 6 = 14400$

3. 最終的な答え

(1) 2880通り

(2) 1440通り

(3) 4320通り

(4) 14400通り