問題Aでは、関数 $f(x) = -2^{2x} + 2^{x+4} - 48$ の最大値、最小値を求める。 問題Bでは、関数 $g(x) = 4^x + 4^{-x} - 2^{x+1} - 2^{-x+1} + 16$ について、そのグラフの形を調べる。

1. 問題の内容

問題Aでは、関数 $f(x) = -2^{2x} + 2^{x+4} - 48$ の最大値、最小値を求める。

問題Bでは、関数 $g(x) = 4^x + 4^{-x} - 2^{x+1} - 2^{-x+1} + 16$ について、そのグラフの形を調べる。

2. 解き方の手順

問題A

(1) $t = 2^x$ とおくと、

$f(x) = - (2^x)^2 + 2^4 \cdot 2^x - 48 = -t^2 + 16t - 48$

$y = -t^2 + 16t - 48 = -(t^2 - 16t) - 48 = -(t^2 - 16t + 64) + 64 - 48 = -(t-8)^2 + 16$

したがって、

$y = \boxed{-}(t - \boxed{8})^2 + \boxed{16}$

$x=1$ のとき、$t=2^1=2$ なので、 $y = - (2-8)^2 + 16 = -36 + 16 = -20$

$x \geq 1$ のとき、$t = 2^x \geq 2$ である。

$y = -(t-8)^2 + 16$ は、$t=8$ で最大値 16 をとる。

$x=3$ で $t=8$ となるので、$x = \boxed{3}$ で最大値 $-\boxed{20}$ をとる。

(2) $k>1$ とする。$x$ が $1 \leq x \leq k$ の範囲を動くとき、$y$ の最小値が $-20$ となるような $k$ の範囲を求める。

$1 \leq x \leq k$ より、 $2^1 \leq 2^x \leq 2^k$ つまり $2 \leq t \leq 2^k$ である。

$y = -(t-8)^2 + 16$ のグラフは、上に凸な放物線であり、$t=8$ を軸とする。

$t=2$ のとき $y=-20$ であるから、$t$ が $2 \leq t \leq 8$ の範囲を動くとき、$y$ は増加する。

$t$ が $8 \leq t \leq 2^k$ の範囲を動くとき、$y$ は減少する。

したがって、$2 \leq t \leq 2^k$ の範囲で、$y$ の最小値が $-20$ であるためには、 $2^k \geq 14$ である必要がある。

$t = 2^k$ のとき $y=-20$ となれば良いので、 $-20= -(2^k-8)^2 + 16$ を解くと、

$(2^k-8)^2=36$

$2^k-8= \pm 6$

$2^k = 14, 2$

$k = \log_2 14, 1$

$1<k \leq \log_2 \boxed{14}$

問題B

$s = 2^x - 2^{-x}$ とおくと、 $s$ のとり得る値の最小値は存在しない。

$g(x) = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2(2^x)(2^{-x}) + 2(2^x)(2^{-x}) - 2(2^x) - 2(2^{-x}) + 16$

$g(x) = (2^x - 2^{-x})^2 - 2(2^x - 2^{-x}) + 16$

$g(x) = s^2 - 2s + 16 = (s-1)^2 + 15$

したがって、

$g(x) = (s- \boxed{1})^2 + \boxed{15}$

これより、$g(x)$ のとり得る値の最小値は $15$ である。

$g(x) = 0$ を満たす $x$ の個数は 0個 である。

また、関数 $g(x)$ について $g(x)=g(-x)$ が成り立つ。

以上から、$y = g(x)$ のグラフとして最も適当なものは $g(x)=g(-x)$ である。

3. 最終的な答え

問題A

$y = -(t - 8)^2 + 16$

$y = -20$

$x = 3$

$1<k \leq \log_2 14$

問題B

$g(x) = (s- 1)^2 + 15$

最小値：15

$x$ の個数：0個

$g(x) = g(-x)$

ナの解答：③