与えられた方程式を解く問題です。方程式は $3 = \sqrt{x(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})}$ です。

1. 問題の内容

与えられた方程式を解く問題です。方程式は $3 = \sqrt{x(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})}$ です。

2. 解き方の手順

まず、方程式の両辺を2乗します。

$3^2 = (\sqrt{x(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})})^2$

$9 = x(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})$

次に、右辺を展開します。

$9 = 2x - x \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$

$9 = 2x - \sqrt{x}$

ここで、$y = \sqrt{x}$ と置換します。すると、$x = y^2$ となります。

この置換を方程式に適用します。

$9 = 2y^2 - y$

方程式を整理して、2次方程式にします。

$2y^2 - y - 9 = 0$

この2次方程式を解くために、解の公式を使用します。

解の公式は $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

ここで、$a=2$, $b=-1$, $c=-9$ です。

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)}$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 72}}{4}$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{4}$

$y$ は $\sqrt{x}$ であるため、正の値を取る必要があります。$\sqrt{73} > 1$ なので、$\frac{1 - \sqrt{73}}{4}$ は負の値になり不適です。したがって、$y = \frac{1 + \sqrt{73}}{4}$ となります。

$y = \sqrt{x} = \frac{1 + \sqrt{73}}{4}$

両辺を2乗して、$x$ を求めます。

$x = (\frac{1 + \sqrt{73}}{4})^2$

$x = \frac{(1 + \sqrt{73})^2}{16}$

$x = \frac{1 + 2\sqrt{73} + 73}{16}$

$x = \frac{74 + 2\sqrt{73}}{16}$

$x = \frac{37 + \sqrt{73}}{8}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{37 + \sqrt{73}}{8}$