1つのサイコロを5回投げるとき、2以下の目がちょうど4回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げるとき、2以下の目がちょうど4回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げるとき、2以下の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。2以下の目が出ない確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ です。

5回のうち4回だけ2以下の目が出る確率は、反復試行の確率の公式を用いて計算できます。

反復試行の確率の公式は以下の通りです。

$P = {}_n \mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$

ここで、

* $n$ は試行回数

* $r$ は成功回数

* $p$ は成功確率

今回の問題では、$n=5$, $r=4$, $p=\frac{1}{3}$ なので、求める確率は以下のようになります。

$P = {}_5 \mathrm{C}_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-4} = {}_5 \mathrm{C}_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1$

${}_5 \mathrm{C}_4 = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 5$

$P = 5 \times \left(\frac{1}{3}\right)^4 \times \left(\frac{2}{3}\right) = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{243}$