高校生3万人の数学のテストの平均点は52点、標準偏差は16点です。この受験者の中から400人を任意に選んだとき、この400人の平均点が51点以上である確率を求めます。

1. 問題の内容

高校生3万人の数学のテストの平均点は52点、標準偏差は16点です。この受験者の中から400人を任意に選んだとき、この400人の平均点が51点以上である確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、標本平均 $\overline{X}$ の分布を考えます。母集団の平均が$\mu = 52$, 標準偏差が$\sigma = 16$であるとき、サイズ $n = 400$ の標本平均 $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ に従います。つまり、$N(52, \frac{16^2}{400})$ に従います。

次に、$\overline{X}$ の標準偏差 $\sigma_{\overline{X}}$ を計算します。

$\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{16}{\sqrt{400}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\overline{X}$ が51点以上である確率を求めるために、$\overline{X}$ を標準化します。標準化された変数 $Z$ は以下の式で表されます。

$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}}$

$\overline{X} = 51$ のとき、$Z$ の値は以下のようになります。

$Z = \frac{51 - 52}{0.8} = \frac{-1}{0.8} = -1.25$

求めたい確率は、$P(\overline{X} \geq 51) = P(Z \geq -1.25)$ です。標準正規分布表を使って $P(Z \geq -1.25)$ を求めます。$P(Z \geq -1.25) = 1 - P(Z < -1.25) = 1 - P(Z > 1.25) = P(Z < 1.25)$.

標準正規分布表より $P(Z < 1.25) \approx 0.8944$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、400人の平均点が51点以上である確率は約0.8944です。