大小中3個のサイコロを投げ、出た目の数をそれぞれ$a$, $b$, $c$とするとき、$a \le b \le c$となる場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げ、出た目の数をそれぞれ$a$, $b$, $c$とするとき、$a \le b \le c$となる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として解くことができます。$a, b, c$は1から6までの整数であり、$a \le b \le c$という条件を満たす組み合わせの数を求めます。

まず、$x_1 = a - 1$, $x_2 = b - a$, $x_3 = c - b$, $x_4 = 6 - c$と置きます。

すると、$x_1, x_2, x_3, x_4$はすべて0以上の整数となり、

$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = (a-1) + (b-a) + (c-b) + (6-c) = 6 - 1 = 5$$

という関係が成り立ちます。

この式を満たす0以上の整数の組$(x_1, x_2, x_3, x_4)$の数を求めることは、5個の区別できない玉を4個の区別できる箱に入れる方法の数を求めることと同じです。これは重複組み合わせで求められます。

重複組み合わせの公式を用いると、求める組み合わせの数は

$$_nH_r = {}_{n+r-1}C_r = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$$

となります。

今回の問題では、$n = 4$, $r = 5$なので、

$$_4H_5 = {}_{4+5-1}C_5 = {}_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$$

となります。

したがって、$a \le b \le c$となる組み合わせは56通りです。

3. 最終的な答え

56通り