A, B, C, D の4人を1列に並べるとき、以下の確率を求めます。 (1) AとBが隣り合う確率 (2) CとDが両端にくる確率 (3) 右端がAまたはBになる確率 (4) 左から3番目にCがこない確率

1. 問題の内容

A, B, C, D の4人を1列に並べるとき、以下の確率を求めます。

(1) AとBが隣り合う確率

(2) CとDが両端にくる確率

(3) 右端がAまたはBになる確率

(4) 左から3番目にCがこない確率

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合う確率

4人を並べる総数は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。

AとBをひとまとめにして1組と考え、これをXとすると、X, C, Dの並べ方は$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通りです。AとBの並び方はABとBAの2通りあるので、AとBが隣り合う並べ方は$6 \times 2 = 12$通りです。

したがって、AとBが隣り合う確率は$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$です。

(2) CとDが両端にくる確率

4人を並べる総数は $4! = 24$通りです。

CとDを両端に固定すると、残りのAとBの並べ方は$2! = 2 \times 1 = 2$通りです。CとDの並び方はCDとDCの2通りあるので、CとDが両端にくる並べ方は$2 \times 2 = 4$通りです。

したがって、CとDが両端にくる確率は$\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$です。

(3) 右端がAまたはBになる確率

4人を並べる総数は $4! = 24$通りです。

右端がAの場合、残りの3人の並べ方は$3! = 6$通りです。

右端がBの場合、残りの3人の並べ方も$3! = 6$通りです。

したがって、右端がAまたはBになる並べ方は$6 + 6 = 12$通りです。

右端がAまたはBになる確率は$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$です。

(4) 左から3番目にCがこない確率

4人を並べる総数は $4! = 24$通りです。

左から3番目がCでない場合、左から3番目はA, B, Dのいずれかになります。

左から3番目がAの場合、残りの3つの場所にはB, C, Dが並びます。この並び方は$3! = 6$通りです。

左から3番目がBの場合、残りの3つの場所にはA, C, Dが並びます。この並び方も$3! = 6$通りです。

左から3番目がDの場合、残りの3つの場所にはA, B, Cが並びます。この並び方も$3! = 6$通りです。

したがって、左から3番目にCがこない並べ方は$6 + 6 + 6 = 18$通りです。

左から3番目にCがこない確率は$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$です。

3. 最終的な答え

(1) AとBが隣り合う確率は $\frac{1}{2}$

(2) CとDが両端にくる確率は $\frac{1}{6}$

(3) 右端がAまたはBになる確率は $\frac{1}{2}$

(4) 左から3番目にCがこない確率は $\frac{3}{4}$