与えられた連立一次方程式 $ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 8 \end{bmatrix} $ について、以下の問いに答える。 (1) 拡大係数行列を求める。 (2) 拡大係数行列を簡約行列に変形する。 (3) 解の有無を判定し、解が存在するならば解を求める。
2025/6/12
1. 問題の内容
与えられた連立一次方程式
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1 \\
-2 & -2 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
-3 \\
8
\end{bmatrix}
について、以下の問いに答える。
(1) 拡大係数行列を求める。
(2) 拡大係数行列を簡約行列に変形する。
(3) 解の有無を判定し、解が存在するならば解を求める。
2. 解き方の手順
(1) 拡大係数行列を求める。
与えられた連立一次方程式の係数と定数項を並べて拡大係数行列を作成する。
(2) 拡大係数行列を簡約行列に変形する。
拡大係数行列に対して行基本変形を行い、簡約行列に変形する。
まず、第1行に第2行を加える。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
-1 & -1 & 1 & -3 \\
-2 & -2 & 4 & 8
\end{bmatrix}
次に、第1行の2倍を第3行に加える。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 2 & 8
\end{bmatrix}
次に、第2行と第3行を入れ替える。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{bmatrix}
(3) 解の有無を判定し、解が存在するならば解を求める。
簡約化された拡大係数行列の最後の行が を意味するため、この連立一次方程式は解を持たない。
3. 最終的な答え
(1) 拡大係数行列:
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
-1 & -1 & 1 & -3 \\
-2 & -2 & 4 & 8
\end{bmatrix}
(2) 簡約行列:
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 8 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{bmatrix}
または
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
など
(3) 解の有無: 解なし