与えられた条件を満たす自然数 $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ を全て求める問題です。ただし、$x \le y \le z$という条件があります。 (1) $x + 2y + 3z = 2xyz$ (2) $7(x + y + z) = 2(xy + yz + zx)$

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす自然数 $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ を全て求める問題です。ただし、$x \le y \le z$という条件があります。

(1) $x + 2y + 3z = 2xyz$

(2) $7(x + y + z) = 2(xy + yz + zx)$

2. 解き方の手順

**(1) $x + 2y + 3z = 2xyz$**

$x, y, z$は自然数で、$x \le y \le z$なので、

$2xyz = x + 2y + 3z \le z + 2z + 3z = 6z$

したがって、$2xy \le 6$より、$xy \le 3$

$x, y$は自然数で、$x \le y$なので、

$(x, y) = (1, 1), (1, 2), (1, 3)$のいずれかである。

(i) $(x, y) = (1, 1)$のとき、$1 + 2 + 3z = 2z$より、$3 = -1$となり不適。

(ii) $(x, y) = (1, 2)$のとき、$1 + 4 + 3z = 4z$より、$z = 5$。

これは、$x \le y \le z$を満たすので、$(x, y, z) = (1, 2, 5)$

(iii) $(x, y) = (1, 3)$のとき、$1 + 6 + 3z = 6z$より、$3z = 7$。

$z = 7/3$は整数ではないので不適。

**(2) $7(x + y + z) = 2(xy + yz + zx)$**

$x \le y \le z$なので、

$7(x + y + z) = 2(xy + yz + zx) \le 2(yz + yz + zz) = 2(xy+2yz)$

$7x+7y+7z \le 2xy+2yz+2xz$

ここで$x=1$とすると、$7(1+y+z) = 2(y+yz+z)$なので、$7+7y+7z=2y+2yz+2z$より、$5y+5z+7 = 2yz$

$2yz - 5y - 5z = 7$

$(2y-5)(2z-5) = 4yz - 10y - 10z + 25 = 2(2yz - 5y - 5z) + 25 = 2(7) + 25 = 39$

$2y-5 \le 2z-5$より、

$(2y-5, 2z-5) = (1, 39), (3, 13)$

$(y, z) = (3, 22), (4, 9)$

$(x, y, z) = (1, 3, 22), (1, 4, 9)$

$x=2$とすると、$7(2+y+z)=2(2y+yz+2z)$なので、$14+7y+7z=4y+2yz+4z$より、$3y+3z+14 = 2yz$

$2yz-3y-3z=14$

$(2y-3)(2z-3) = 4yz-6y-6z+9 = 2(2yz-3y-3z)+9=2(14)+9 = 37$

$2y-3 \le 2z-3$より、

$(2y-3, 2z-3)=(1, 37)$

$(y, z) = (2, 20)$

$(x, y, z) = (2, 2, 20)$

$x=3$とすると、$7(3+y+z)=2(3y+yz+3z)$なので、$21+7y+7z=6y+2yz+6z$より、$y+z+21 = 2yz$

$2yz-y-z=21$

$(2y-1)(2z-1) = 4yz-2y-2z+1=2(2yz-y-z)+1=2(21)+1 = 43$

$2y-1 \le 2z-1$より、

$(2y-1, 2z-1)=(1, 43)$

$(y, z) = (1, 22)$

$x \le y$より、これは不適

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (1, 2, 5)$

(2) $(x, y, z) = (1, 3, 22), (1, 4, 9), (2, 2, 20)$