問題20：A, B, Cの3つのクラスがあり、それぞれのクラスの通学手段（バス、自転車、徒歩）ごとの生徒数が与えられています。まず、クラスを無作為に選び、次にそのクラスから生徒を無作為に1人選びます。選ばれた生徒がバス通学であるという条件の下で、その生徒がBクラスに所属している条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

問題20：A, B, Cの3つのクラスがあり、それぞれのクラスの通学手段（バス、自転車、徒歩）ごとの生徒数が与えられています。まず、クラスを無作為に選び、次にそのクラスから生徒を無作為に1人選びます。選ばれた生徒がバス通学であるという条件の下で、その生徒がBクラスに所属している条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、各クラスが選ばれる確率は等しく、1/3です。

次に、各クラスのバス通学の生徒数を合計します。

全体のバス通学の生徒数は $5 + 8 + 6 = 19$ 人です。

Bクラスが選ばれて、そのクラスからバス通学の生徒が選ばれる確率は、$\frac{1}{3} \times \frac{8}{\text{Bクラスの生徒数}}$です。

Bクラスの生徒数は、$8 + 18 + 10 = 36$ 人です。

したがって、Bクラスが選ばれて、そのクラスからバス通学の生徒が選ばれる確率は、$\frac{1}{3} \times \frac{8}{36} = \frac{8}{108}$です。

Aクラスの生徒数は、$5 + 15 + 25 = 45$ 人です。

Aクラスが選ばれて、そのクラスからバス通学の生徒が選ばれる確率は、$\frac{1}{3} \times \frac{5}{45} = \frac{5}{135}$です。

Cクラスの生徒数は、$6 + 6 + 30 = 42$ 人です。

Cクラスが選ばれて、そのクラスからバス通学の生徒が選ばれる確率は、$\frac{1}{3} \times \frac{6}{42} = \frac{6}{126}$です。

選ばれた生徒がバス通学である確率は、$\frac{5}{135} + \frac{8}{108} + \frac{6}{126} = \frac{5}{135} + \frac{2}{27} + \frac{1}{21} = \frac{70 + 210 + 135}{1890} = \frac{415}{1890} = \frac{83}{378}$ です。

条件付き確率の公式より、$P(B|\text{バス}) = \frac{P(B \cap \text{バス})}{P(\text{バス})}$ です。

$P(B \cap \text{バス})$ は、Bクラスからバス通学の生徒が選ばれる確率で、$\frac{8}{108} = \frac{2}{27} = \frac{28}{378}$ です。

$P(\text{バス})$ は、バス通学の生徒が選ばれる確率で、$\frac{83}{378}$ です。

したがって、$P(B|\text{バス}) = \frac{\frac{28}{378}}{\frac{83}{378}} = \frac{28}{83}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{28}{83}$