男子4人と女子3人、合計7人の生徒がいます。 (1) 7人の生徒が1列に並んで写真を撮る。両端がともに男子である並び方は何通りあるか。また、女子どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。 (2) 7人の生徒が、4人掛けの円卓と3人掛けの円卓に分かれて座り食事をする。円卓に座る座り方は何通りあるか。また、この中で男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方は何通りあるか。 (3) 7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法は何通りあるか。この中で、どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子4人と女子3人、合計7人の生徒がいます。

(1) 7人の生徒が1列に並んで写真を撮る。両端がともに男子である並び方は何通りあるか。また、女子どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか。

(2) 7人の生徒が、4人掛けの円卓と3人掛けの円卓に分かれて座り食事をする。円卓に座る座り方は何通りあるか。また、この中で男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方は何通りあるか。

(3) 7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法は何通りあるか。この中で、どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

* 両端が男子である並び方:

まず、両端に男子を配置する方法は ${}_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。残りの5人は自由に並べられるので $5! = 120$ 通り。したがって、全部で $12 \times 120 = 1440$ 通り。

* 女子どうしが隣り合わない並び方:

まず、男子4人を並べる方法は $4! = 24$ 通り。次に、男子の間と両端の5ヶ所に女子3人を並べる方法は ${}_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。したがって、全部で $24 \times 60 = 1440$ 通り。

(2)

* 円卓に座る座り方:

7人から4人を選んで4人掛けの円卓に座らせる方法は ${}_7C_4$通り。残りの3人は3人掛けの円卓に座るので固定。

4人掛けの円卓の座り方は$(4-1)!=3!=6$通り。3人掛けの円卓の座り方は$(3-1)!=2!=2$通り。

よって、${}_7C_4 \times 3! \times 2! = \frac{7!}{4!3!} \times 6 \times 2 = 35 \times 6 \times 2 = 420$ 通り。

* 男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方:

4人掛けの円卓に座る男子を2人選び、残りの2人を3人掛けの円卓に座らせる。

まず、4人掛けの円卓に座る男子2人の選び方は${}_4C_2 = 6$通り。

次に、残りの女子3人から2人を選び4人掛けの円卓に座らせる方法は${}_3C_2 = 3$通り。残った女子は3人掛けの円卓に座る。

それぞれの円卓の座り方は、4人掛けが$(4-1)!=6$通り、3人掛けが$(3-1)!=2$通り。

よって、$6 \times 3 \times 6 \times 2 = 216$通り。

(3)

* 7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法:

まず、7人から2人を選ぶ方法は ${}_7C_2$ 通り。次に、残りの5人から2人を選ぶ方法は ${}_5C_2$ 通り。最後に残った3人は3人の組になるので ${}_3C_3 = 1$ 通り。2人の組が2つあるので、それらを区別しないために2!で割る。

したがって、$\frac{{}_7C_2 \times {}_5C_2 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{21 \times 10 \times 1}{2} = 105$ 通り。

* どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方:

まず、全ての分け方から、男子が全く含まれない組がある場合を引くことを考える。

女子3人を、2人, 2人, 3人の組に分けることはできないので、

女子が1つの組に3人とも含まれる場合を考える。

その場合は2人の組には男子が入るので、3人の組に女子3人が入る場合だけ考えればよい。

男子4人を2人、2人の組に分ける方法は $\frac{{}_4C_2 \times {}_2C_2}{2!} = \frac{6 \times 1}{2} = 3$通り。

よって、求める分け方は、$105 - 3 = 102$通り。

3. 最終的な答え

(1) アイウエ: 1440, オカキク: 1440

(2) ケコサ: 420, シスセ: 216

(3) ソタチ: 105, ツテ: 102