$f(x) = -x^2 + 4ax + 2$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最小値 $m(a)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 4ax + 2$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最小値 $m(a)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成して、頂点を求めます。

$f(x) = -(x^2 - 4ax) + 2$

$f(x) = -(x^2 - 4ax + 4a^2) + 4a^2 + 2$

$f(x) = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 2$

したがって、頂点は $(2a, 4a^2 + 2)$ となります。

グラフは上に凸な放物線です。軸の方程式は $x = 2a$ です。

定義域の中央の値は $x = \frac{0+2}{2} = 1$ です。

(i) $2a \le 1$ のとき、$a \le \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $x=2$ でとります。

$m(a) = f(2) = -2^2 + 4a(2) + 2 = -4 + 8a + 2 = 8a - 2$

(ii) $2a > 1$ のとき、$a > \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $x=0$ でとります。

$m(a) = f(0) = -0^2 + 4a(0) + 2 = 2$

3. 最終的な答え

ア: 2a

イ: $4a^2 + 2$

ウ: 2a

エ: 1

オ: $8a-2$

カ: 2