関数 $f(x) = -x^2 + 4ax - a$ （$0 \le x \le 2$）の最大値 $M(a)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 4ax - a$ （$0 \le x \le 2$）の最大値 $M(a)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 4ax) - a = -(x^2 - 4ax + 4a^2) + 4a^2 - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

したがって、関数 $f(x)$ のグラフの放物線 C の頂点は $(2a, 4a^2 - a)$ です。

よって、C の軸の方程式は $x = 2a$ です。

$x = 2a$ が $f(x)$ の定義域 $0 \le x \le 2$ に含まれるか否かで場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき、$f(x)$ は $x=0$ で最大値をとります。

$M(a) = f(0) = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

よって、$M(a) = -a + 0$

(ii) $0 \le a < 1$ のとき、$0 \le 2a < 2$ なので、$x = 2a$ が定義域に含まれます。$f(x)$ は $x = 2a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(2a) = 4a^2 - a$

よって、$M(a) = 4a^2 - a$

(iii) $a \ge 1$ のとき、$2a \ge 2$ なので、$f(x)$ は $x = 2$ で最大値をとります。

$M(a) = f(2) = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

よって、$M(a) = 7a - 4$

3. 最終的な答え

ア：$(2a, 4a^2 - a)$

イ：$2a$

ウ：$-1$

エ：$0$

オ：$4$

カ：$-1$

キ：$7$

ク：$-4$