3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$ を解き、解を $x =$ キ $, ク \pm \sqrt{ケ}$ の形で表す。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$ を解き、解を $x =$ キ $, ク \pm \sqrt{ケ}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探すために、因数定理を利用します。定数項が2なので、$\pm 1, \pm 2$ が解の候補となります。

$x=1$ を代入すると、$1^3 - 4(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 4 + 3 + 2 = 2 \neq 0$

$x=-1$ を代入すると、 $(-1)^3 - 4(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 - 4 - 3 + 2 = -6 \neq 0$

$x=2$ を代入すると、$2^3 - 4(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$

したがって、$x=2$ は解の一つであることがわかります。

$x=2$ が解なので、$(x-2)$ を因数に持ちます。与えられた3次式を $(x-2)$ で割ると、

$x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = (x-2)(x^2 - 2x - 1)$

となります。

したがって、方程式は $(x-2)(x^2 - 2x - 1) = 0$ となります。

次に、2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = 1 \pm \sqrt{2}$ が残りの2つの解となります。

まとめると、解は $x = 2, 1 \pm \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

キ：2

ク：1

ケ：2