数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n - 2n + 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められている。 (1) 数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_n - (\alpha n + \beta)$ と定義するとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列となるように定数 $\alpha$ と $\beta$ の値を定めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n - 2n + 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められている。

(1) 数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_n - (\alpha n + \beta)$ と定義するとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列となるように定数 $\alpha$ と $\beta$ の値を定めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\{b_n\}$ が等比数列になる条件を考える。

$b_{n+1} = a_{n+1} - (\alpha(n+1) + \beta)$ であり、$a_{n+1} = 2a_n - 2n + 1$ を代入すると、

$b_{n+1} = 2a_n - 2n + 1 - \alpha(n+1) - \beta = 2(a_n - (\alpha n + \beta)) + 2\alpha n + 2\beta - 2n + 1 - \alpha n - \alpha - \beta = 2b_n + (\alpha - 2)n + (\beta - \alpha + 1)$

$\{b_n\}$ が等比数列となるためには、$b_{n+1} = rb_n$（$r$は定数）の形になる必要があるので、 $(\alpha - 2)n + (\beta - \alpha + 1) = 0$ が全ての $n$ に対して成り立つ必要がある。

これは、$\alpha - 2 = 0$ かつ $\beta - \alpha + 1 = 0$ であることと同値である。

$\alpha = 2$, $\beta = \alpha - 1 = 2 - 1 = 1$ となる。

(2) (1) より、$\alpha = 2$, $\beta = 1$ のとき、$\{b_n\}$ は等比数列である。このとき $b_n = a_n - (2n + 1)$ である。

$a_{n+1} = 2a_n - 2n + 1$ より、

$a_{n+1} - (2(n+1)+1) = 2a_n - 2n + 1 - 2n - 3 = 2a_n - 4n - 2 = 2(a_n - (2n + 1))$

したがって、 $b_{n+1} = 2b_n$ となり、 $\{b_n\}$ は公比2の等比数列である。

$b_1 = a_1 - (2(1) + 1) = 2 - 3 = -1$ なので、$b_n = (-1) \cdot 2^{n-1} = -2^{n-1}$ となる。

$a_n = b_n + 2n + 1$ であるから、$a_n = -2^{n-1} + 2n + 1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 2$, $\beta = 1$

(2) $a_n = -2^{n-1} + 2n + 1$