問題は2つあります。 (1) 実数全体の集合 $X$ の部分集合 $A = \{x | x \geq 0\}$ と $B = \{x | -1 \leq x \leq 1\}$ について、$A \cup B$, $A \cap B$, $\overline{A} \cap B$ を求めよ。 (2) 自然数全体の集合 $U$ の部分集合 $A = \{n | n \text{は12の約数}\}$, $B = \{n | n \text{は20の約数}\}$, $C = \{n | n \text{は30の約数}\}$ について、$A \cap B$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cup (B \cap C)$, $(A \cup B) \cap \overline{C}$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 実数全体の集合 $X$ の部分集合 $A = \{x | x \geq 0\}$ と $B = \{x | -1 \leq x \leq 1\}$ について、$A \cup B$, $A \cap B$, $\overline{A} \cap B$ を求めよ。

(2) 自然数全体の集合 $U$ の部分集合 $A = \{n | n \text{は12の約数}\}$, $B = \{n | n \text{は20の約数}\}$, $C = \{n | n \text{は30の約数}\}$ について、$A \cap B$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cup (B \cap C)$, $(A \cup B) \cap \overline{C}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A \cup B$ を求めます。$A$ は $0$ 以上の実数全体、$B$ は $-1$ 以上 $1$ 以下の実数全体なので、$A \cup B$ は $-1$ 以上の実数全体になります。

$A \cup B = \{x | x \geq -1\}$

次に、$A \cap B$ を求めます。$A$ は $0$ 以上の実数全体、$B$ は $-1$ 以上 $1$ 以下の実数全体なので、$A \cap B$ は $0$ 以上 $1$ 以下の実数全体になります。

$A \cap B = \{x | 0 \leq x \leq 1\}$

最後に、$\overline{A} \cap B$ を求めます。$\overline{A}$ は $0$ 未満の実数全体、$B$ は $-1$ 以上 $1$ 以下の実数全体なので、$\overline{A} \cap B$ は $-1$ 以上 $0$ 未満の実数全体になります。

$\overline{A} \cap B = \{x | -1 \leq x < 0\}$

(2)

まず、$A$, $B$, $C$ の要素を書き出します。

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$

$C = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$

次に、$A \cap B$ を求めます。

$A \cap B = \{1, 2, 4\}$

次に、$A \cap B \cap C$ を求めます。

$A \cap B \cap C = \{1, 2\}$

次に、$A \cup B \cup C$ を求めます。

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30\}$

次に、$B \cap C$ を求めます。

$B \cap C = \{1, 2, 5, 10\}$

次に、$A \cup (B \cap C)$ を求めます。

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12\}$

最後に、$\overline{C}$ を求めます。$U$ は自然数全体の集合であるから、$\overline{C}$ は $C$ に含まれない自然数全体の集合となります。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20\}$

$(A \cup B) \cap \overline{C}$ は、$A \cup B$ に含まれ、$C$ に含まれない要素の集合です。

$(A \cup B) \cap \overline{C} = \{4, 12, 20\}$

3. 最終的な答え

(1)

$A \cup B = \{x | x \geq -1\}$

$A \cap B = \{x | 0 \leq x \leq 1\}$

$\overline{A} \cap B = \{x | -1 \leq x < 0\}$

(2)

$A \cap B = \{1, 2, 4\}$

$A \cap B \cap C = \{1, 2\}$

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30\}$

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12\}$

$(A \cup B) \cap \overline{C} = \{4, 12, 20\}$