次の8つの式を因数分解します。 (1) $a^2 + 4a + 4$ (2) $25a^2 - 9b^2$ (3) $x^2 + 4x - 21$ (4) $x^2 - 6xy - 7y^2$ (5) $2x^2 - 3x - 9$ (6) $3x^2 - 13ax + 4a^2$ (7) $(x+1)^2 - 4(x+1) + 4$ (8) $x^4 - 10x^2 + 9$

はい、承知いたしました。与えられた問題を因数分解します。

1. 問題の内容

次の8つの式を因数分解します。

(1) $a^2 + 4a + 4$

(2) $25a^2 - 9b^2$

(3) $x^2 + 4x - 21$

(4) $x^2 - 6xy - 7y^2$

(5) $2x^2 - 3x - 9$

(6) $3x^2 - 13ax + 4a^2$

(7) $(x+1)^2 - 4(x+1) + 4$

(8) $x^4 - 10x^2 + 9$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + 4a + 4$

これは完全平方式です。

$a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$

(2) $25a^2 - 9b^2$

これは平方の差です。

$25a^2 - 9b^2 = (5a)^2 - (3b)^2 = (5a+3b)(5a-3b)$

(3) $x^2 + 4x - 21$

和が4、積が-21となる2つの数を見つけます。それらは7と-3です。

$x^2 + 4x - 21 = (x+7)(x-3)$

(4) $x^2 - 6xy - 7y^2$

和が-6、積が-7となる2つの数を見つけます。それらは-7と1です。

$x^2 - 6xy - 7y^2 = (x-7y)(x+y)$

(5) $2x^2 - 3x - 9$

たすき掛けを利用します。

$2x^2 - 3x - 9 = (2x+3)(x-3)$

(6) $3x^2 - 13ax + 4a^2$

たすき掛けを利用します。

$3x^2 - 13ax + 4a^2 = (3x-a)(x-4a)$

(7) $(x+1)^2 - 4(x+1) + 4$

$y = x+1$と置換します。

$y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2$

$y$を元に戻します。

$(x+1-2)^2 = (x-1)^2$

(8) $x^4 - 10x^2 + 9$

$y = x^2$と置換します。

$y^2 - 10y + 9 = (y-1)(y-9)$

$y$を元に戻します。

$(x^2-1)(x^2-9) = (x+1)(x-1)(x+3)(x-3)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+2)^2$

(2) $(5a+3b)(5a-3b)$

(3) $(x+7)(x-3)$

(4) $(x-7y)(x+y)$

(5) $(2x+3)(x-3)$

(6) $(3x-a)(x-4a)$

(7) $(x-1)^2$

(8) $(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)$