与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、頂点の座標を求め、そのグラフとして適切なものを選択肢①～⑥から選びます。さらに、与えられた関数の最大値、または最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、頂点の座標を求め、そのグラフとして適切なものを選択肢①～⑥から選びます。さらに、与えられた関数の最大値、または最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) $y = x^2 - 6x + 10$

平方完成します。

$y = (x^2 - 6x) + 10$

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 10$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 10$

$y = (x - 3)^2 + 1$

頂点の座標は $(3, 1)$。グラフは下に凸で、頂点が$(3,1)$であるため、グラフ①が該当します。最小値は1です。最大値はありません。

(イ) $y = x^2 + 6x + 5$

平方完成します。

$y = (x^2 + 6x) + 5$

$y = (x^2 + 6x + 9 - 9) + 5$

$y = (x + 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x + 3)^2 - 4$

頂点の座標は $(-3, -4)$。グラフは下に凸で、頂点が$(-3, -4)$であるため、グラフ⑤が該当します。最小値は-4です。最大値はありません。

(ウ) $y = 2x^2 - 4x - 2$

平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) - 2$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 2$

$y = 2(x - 1)^2 - 4$

頂点の座標は $(1, -4)$。グラフは下に凸で、頂点が$(1, -4)$であるため、グラフ②が該当します。最小値は-4です。最大値はありません。

(エ) $y = -2x^2 - 8x - 6$

平方完成します。

$y = -2(x^2 + 4x) - 6$

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 2$

頂点の座標は $(-2, 2)$。グラフは上に凸で、頂点が$(-2, 2)$であるため、グラフ⑥が該当します。最大値は2です。最小値はありません。

(オ) $y = 3x^2 + 6x + 3$

平方完成します。

$y = 3(x^2 + 2x) + 3$

$y = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$

$y = 3(x + 1)^2 - 3 + 3$

$y = 3(x + 1)^2$

頂点の座標は $(-1, 0)$。グラフは下に凸で、頂点が$(-1, 0)$であるため、グラフ④が該当します。最小値は0です。最大値はありません。

(カ) $y = -2x^2 + 6x$

平方完成します。

$y = -2(x^2 - 3x)$

$y = -2(x^2 - 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2)$

$y = -2(x - 3/2)^2 + 2(9/4)$

$y = -2(x - 3/2)^2 + 9/2$

頂点の座標は $(3/2, 9/2)$。グラフは上に凸で、頂点が$(3/2, 9/2)$であるため、グラフ③が該当します。最大値は9/2です。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(ア) $y = (x - 3)^2 + 1$, 頂点 $(3, 1)$, グラフ ①, 最小値1

(イ) $y = (x + 3)^2 - 4$, 頂点 $(-3, -4)$, グラフ ⑤, 最小値-4

(ウ) $y = 2(x - 1)^2 - 4$, 頂点 $(1, -4)$, グラフ ②, 最小値-4

(エ) $y = -2(x + 2)^2 + 2$, 頂点 $(-2, 2)$, グラフ ⑥, 最大値2

(オ) $y = 3(x + 1)^2$, 頂点 $(-1, 0)$, グラフ ④, 最小値0

(カ) $y = -2(x - 3/2)^2 + 9/2$, 頂点 $(3/2, 9/2)$, グラフ ③, 最大値9/2