次の2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。 (ア) $y = -x^2 + 2$, 定義域: $-1 \leq x \leq 3$ (イ) $y = -x^2 + 6x$, 定義域: $4 \leq x \leq 5$ (ウ) $y = x^2 - 4x - 1$, 定義域: $1 \leq x \leq 4$ (エ) $y = x^2$, 定義域: $-2 \leq x \leq 1$

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。

(ア) $y = -x^2 + 2$, 定義域: $-1 \leq x \leq 3$

(イ) $y = -x^2 + 6x$, 定義域: $4 \leq x \leq 5$

(ウ) $y = x^2 - 4x - 1$, 定義域: $1 \leq x \leq 4$

(エ) $y = x^2$, 定義域: $-2 \leq x \leq 1$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。次に、定義域の端点と頂点のx座標が定義域内にあるかどうかを確認し、それらのx座標に対応するyの値を計算します。これらのyの値の中で最も大きいものが最大値、最も小さいものが最小値となります。

(ア) $y = -x^2 + 2$

平方完成すると $y = -(x - 0)^2 + 2$ となり、頂点の座標は $(0, 2)$ です。

$x=-1$ のとき $y = -(-1)^2 + 2 = 1$

$x=3$ のとき $y = -(3)^2 + 2 = -7$

頂点は定義域内にあるので、$x = 0$ のとき $y = 2$。

したがって、最大値は $2$、最小値は $-7$ です。

(イ) $y = -x^2 + 6x$

平方完成すると $y = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$ となり、頂点の座標は $(3, 9)$ です。

$x=4$ のとき $y = -(4)^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$

$x=5$ のとき $y = -(5)^2 + 6(5) = -25 + 30 = 5$

頂点は定義域外にあるので、定義域内で頂点を通ることはありません。

したがって、最大値は $8$、最小値は $5$ です。

(ウ) $y = x^2 - 4x - 1$

平方完成すると $y = (x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = (x - 2)^2 - 5$ となり、頂点の座標は $(2, -5)$ です。

$x=1$ のとき $y = (1)^2 - 4(1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4$

$x=4$ のとき $y = (4)^2 - 4(4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1$

頂点は定義域内にあるので、$x = 2$ のとき $y = -5$。

したがって、最大値は $-1$、最小値は $-5$ です。

(エ) $y = x^2$

平方完成すると $y = (x - 0)^2 + 0$ となり、頂点の座標は $(0, 0)$ です。

$x=-2$ のとき $y = (-2)^2 = 4$

$x=1$ のとき $y = (1)^2 = 1$

頂点は定義域内にあるので、$x = 0$ のとき $y = 0$。

したがって、最大値は $4$、最小値は $0$ です。

3. 最終的な答え

(ア) 最大値: $2$, 最小値: $-7$

(イ) 最大値: $8$, 最小値: $5$

(ウ) 最大値: $-1$, 最小値: $-5$

(エ) 最大値: $4$, 最小値: $0$