与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & 2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に関して余因子展開を行うことができます。ここでは、第1行に沿って余因子展開を行うことにします。

行列式を $det$ と表記します。

$det = 2 \cdot C_{11} + 3 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot det \begin{pmatrix} 7 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 7(2-3) - 2(-4-3) + 1(-2-1) = -7 + 14 - 3 = 4$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot det \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = -[4(2-3) - 2(-4-0) + 1(-2-0)] = -[-4 + 8 - 2] = -2$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot det \begin{pmatrix} 4 & 7 & 1 \\ -2 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 4(-4-3) - 7(-4-0) + 1(-2-0) = -28 + 28 - 2 = -2$

したがって、

$det = 2(4) + 3(-2) + 1(-2) + 0 = 8 - 6 - 2 = 0$

3. 最終的な答え

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