数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 - 22n + 3$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で表される。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。会話形式で穴埋め問題を解く。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n = n^2 - 22n + 3$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で表される。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。会話形式で穴埋め問題を解く。

2. 解き方の手順

(ア) $n \ge 2$ のとき、$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ であり、$S_{n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}$ であるから、$S_n = S_{n-1} + a_n$ が成り立つ。よって、$S_n - a_n = S_{n-1}$ となる。

(イ, ウエ) $n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。$S_n = n^2 - 22n + 3$ であり、$S_{n-1} = (n-1)^2 - 22(n-1) + 3 = n^2 - 2n + 1 - 22n + 22 + 3 = n^2 - 24n + 26$ であるから、$a_n = (n^2 - 22n + 3) - (n^2 - 24n + 26) = 2n - 23$ となる。

(オ) $a_1 = S_1$ が成り立つ。

(カキク) $S_1 = 1^2 - 22(1) + 3 = 1 - 22 + 3 = -18$ であるから、$a_1 = -18$ となる。

3. 最終的な答え

ア: $S_{n-1}$

イ: 2

ウエ: 23

オ: $a_1 = S_1$

カキク: -18

$a_1 = -18$

$n \ge 2$ のとき $a_n = 2n - 23$