行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & a & a+2b \\ a & b & 2a+b \end{vmatrix}$ を計算し、その結果が チ $(a-b)(a+b)$ の形で表されるとき、チ に入る数字を0から9の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & a & a+2b \\ a & b & 2a+b \end{vmatrix}$

を計算し、その結果が チ $(a-b)(a+b)$ の形で表されるとき、チ に入る数字を0から9の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & a & a+2b \\ a & b & 2a+b \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & a+2b \\ b & 2a+b \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} b & a+2b \\ a & 2a+b \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} b & a \\ a & b \end{vmatrix}$

$= (a(2a+b) - b(a+2b)) - (b(2a+b) - a(a+2b)) + (b^2 - a^2)$

$= (2a^2+ab - ab - 2b^2) - (2ab+b^2 - a^2 - 2ab) + (b^2 - a^2)$

$= 2a^2 - 2b^2 - b^2 + a^2 + b^2 - a^2$

$= 2a^2 - 2b^2$

$= 2(a^2 - b^2)$

$= 2(a-b)(a+b)$

したがって、 チ に入る数字は2です。

3. 最終的な答え

2