(1) 与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、頂点の座標を求め、グラフを①～⑥から選ぶ問題です。 (ア) $y = x^2 - 6x + 10$ (イ) $y = x^2 + 6x + 5$ (ウ) $y = 2x^2 - 4x - 2$ (エ) $y = -2x^2 - 8x - 6$ (オ) $y = 3x^2 + 6x + 3$ (カ) $y = -2x^2 + 6x$

1. 問題の内容

(1) 与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、頂点の座標を求め、グラフを①～⑥から選ぶ問題です。

(ア) $y = x^2 - 6x + 10$

(イ) $y = x^2 + 6x + 5$

(ウ) $y = 2x^2 - 4x - 2$

(エ) $y = -2x^2 - 8x - 6$

(オ) $y = 3x^2 + 6x + 3$

(カ) $y = -2x^2 + 6x$

2. 解き方の手順

(ア) $y = x^2 - 6x + 10$

平方完成を行う:

$y = (x - 3)^2 - 9 + 10$

$y = (x - 3)^2 + 1$

頂点の座標は $(3, 1)$ であり、グラフは下に凸の放物線。グラフ⑤が対応する。

(イ) $y = x^2 + 6x + 5$

平方完成を行う:

$y = (x + 3)^2 - 9 + 5$

$y = (x + 3)^2 - 4$

頂点の座標は $(-3, -4)$ であり、グラフは下に凸の放物線。グラフ①が対応する。

(ウ) $y = 2x^2 - 4x - 2$

平方完成を行う:

$y = 2(x^2 - 2x) - 2$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 2$

$y = 2(x - 1)^2 - 4$

頂点の座標は $(1, -4)$ であり、グラフは下に凸の放物線。グラフ④が対応する。

(エ) $y = -2x^2 - 8x - 6$

平方完成を行う:

$y = -2(x^2 + 4x) - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 6$

$y = -2(x + 2)^2 + 2$

頂点の座標は $(-2, 2)$ であり、グラフは上に凸の放物線。グラフ⑥が対応する。

(オ) $y = 3x^2 + 6x + 3$

平方完成を行う:

$y = 3(x^2 + 2x) + 3$

$y = 3(x + 1)^2 - 3 + 3$

$y = 3(x + 1)^2$

頂点の座標は $(-1, 0)$ であり、グラフは下に凸の放物線。グラフ②が対応する。

(カ) $y = -2x^2 + 6x$

平方完成を行う:

$y = -2(x^2 - 3x)$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + 2 \cdot (\frac{9}{4})$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$

頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ であり、グラフは上に凸の放物線。グラフ③が対応する。

3. 最終的な答え

(ア) 頂点の座標: $(3, 1)$、グラフ: ⑤

(イ) 頂点の座標: $(-3, -4)$、グラフ: ①

(ウ) 頂点の座標: $(1, -4)$、グラフ: ④

(エ) 頂点の座標: $(-2, 2)$、グラフ: ⑥

(オ) 頂点の座標: $(-1, 0)$、グラフ: ②

(カ) 頂点の座標: $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$、グラフ: ③