与えられた二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求めます。問題は以下の4つです。 (ア) $y = x^2$, $-2 \le x \le 1$ (イ) $y = -x^2 + 2$, $-1 \le x \le 3$ (ウ) $y = x^2 - 4x - 1$, $1 \le x \le 4$ (エ) $y = -x^2 + 6x$, $4 \le x \le 5$

1. 問題の内容

与えられた二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求めます。問題は以下の4つです。

(ア) $y = x^2$, $-2 \le x \le 1$

(イ) $y = -x^2 + 2$, $-1 \le x \le 3$

(ウ) $y = x^2 - 4x - 1$, $1 \le x \le 4$

(エ) $y = -x^2 + 6x$, $4 \le x \le 5$

2. 解き方の手順

(ア) $y = x^2$, $-2 \le x \le 1$

$y = x^2$ のグラフは下に凸な放物線で、頂点は $(0, 0)$ です。

範囲 $-2 \le x \le 1$ における最大値は $x = -2$ のとき $y = (-2)^2 = 4$ です。

最小値は $x = 0$ のとき $y = 0^2 = 0$ です。

(イ) $y = -x^2 + 2$, $-1 \le x \le 3$

$y = -x^2 + 2$ のグラフは上に凸な放物線で、頂点は $(0, 2)$ です。

範囲 $-1 \le x \le 3$ における最大値は $x = 0$ のとき $y = -0^2 + 2 = 2$ です。

最小値は $x = 3$ のとき $y = -3^2 + 2 = -9 + 2 = -7$ です。

(ウ) $y = x^2 - 4x - 1$, $1 \le x \le 4$

$y = x^2 - 4x - 1$ を平方完成すると $y = (x - 2)^2 - 5$ となります。

このグラフは下に凸な放物線で、頂点は $(2, -5)$ です。

範囲 $1 \le x \le 4$ における最小値は $x = 2$ のとき $y = -5$ です。

最大値は $x = 4$ のとき $y = 4^2 - 4(4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1$ です。

(エ) $y = -x^2 + 6x$, $4 \le x \le 5$

$y = -x^2 + 6x$ を平方完成すると $y = -(x - 3)^2 + 9$ となります。

このグラフは上に凸な放物線で、頂点は $(3, 9)$ です。

範囲 $4 \le x \le 5$ における最大値は $x = 4$ のとき $y = -4^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$ です。

最小値は $x = 5$ のとき $y = -5^2 + 6(5) = -25 + 30 = 5$ です。

3. 最終的な答え

(ア) 最大値: 4, 最小値: 0

(イ) 最大値: 2, 最小値: -7

(ウ) 最大値: -1, 最小値: -5

(エ) 最大値: 8, 最小値: 5