$n$ を3で割り切れない正の整数とするとき、整式 $x^{2n} + x^n + 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れることを示します。

1. 問題の内容

$n$ を3で割り切れない正の整数とするとき、整式 $x^{2n} + x^n + 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れることを示します。

2. 解き方の手順

$x^2 + x + 1 = 0$ の解を $\omega$ とすると、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立ちます。

また、$\omega^3 - 1 = (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ より、$\omega^3 = 1$ （ただし、$\omega \neq 1$）。

$x^{2n} + x^n + 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れるためには、$x = \omega$ を代入したときに、$x^{2n} + x^n + 1 = 0$ となることが必要十分条件です。

つまり、$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$ を示せば良いことになります。

$n$ は3で割り切れないので、$n = 3k+1$ または $n = 3k+2$ （$k$ は整数）と表せます。

(i) $n = 3k+1$ のとき、

\begin{align*}

\omega^{2n} + \omega^n + 1 &= \omega^{2(3k+1)} + \omega^{3k+1} + 1 \\

&= \omega^{6k+2} + \omega^{3k+1} + 1 \\

&= (\omega^3)^{2k}\omega^2 + (\omega^3)^k\omega + 1 \\

&= 1^{2k}\omega^2 + 1^k\omega + 1 \\

&= \omega^2 + \omega + 1 \\

&= 0

\end{align*}

(ii) $n = 3k+2$ のとき、

\begin{align*}

\omega^{2n} + \omega^n + 1 &= \omega^{2(3k+2)} + \omega^{3k+2} + 1 \\

&= \omega^{6k+4} + \omega^{3k+2} + 1 \\

&= (\omega^3)^{2k}\omega^4 + (\omega^3)^k\omega^2 + 1 \\

&= 1^{2k}\omega^4 + 1^k\omega^2 + 1 \\

&= \omega^4 + \omega^2 + 1 \\

&= \omega^3\omega + \omega^2 + 1 \\

&= \omega + \omega^2 + 1 \\

&= 0

\end{align*}

いずれの場合も、$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$ となるので、$x^{2n} + x^n + 1$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れます。

3. 最終的な答え

$n$ を3で割り切れない正の整数とするとき、整式 $x^{2n} + x^n + 1$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れる。