実数 $a$ に対して、与えられた行列の階数を求め、階数が2となるような $a$ が存在するかどうかを調べる問題です。行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、与えられた行列の階数を求め、階数が2となるような $a$ が存在するかどうかを調べる問題です。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるために、行列を簡約化（行基本変形）します。

ステップ1: 1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 5 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$

ステップ2: 2行目から1行目の2倍を引きます。3行目に1行目を足します。4行目に1行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 4 & 8 & -2 \\ 0 & 3 & a+4 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ3: 2行目を-3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1/3 \\ 0 & 4 & 8 & -2 \\ 0 & 3 & a+4 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ4: 3行目から2行目の4倍を引きます。4行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 4 & -2/3 \\ 0 & 0 & a+1 & 2 \end{pmatrix}$

ステップ5: 3行目を4で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/6 \\ 0 & 0 & a+1 & 2 \end{pmatrix}$

ステップ6: 4行目から3行目の(a+1)倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 + (a+1)/6 \end{pmatrix}$

ステップ7: 最後の行を整理します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/6 \\ 0 & 0 & 0 & (13+a)/6 \end{pmatrix}$

行列の階数は、0でない行の数です。

もし $a = -13$ ならば、最後の行は0になるので、階数は3です。

もし $a \ne -13$ ならば、階数は4です。

問題は階数が2になることがあるか、と聞いています。上記の変形では階数は3か4なので、階数が2になることはありません。

3. 最終的な答え

行列の階数は $a = -13$ のとき3であり、$a \ne -13$ のとき4である。したがって、階数が2となることはない。