直線ATが点Aで円Oに接しているとき、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求めよ。ただし、$\angle ABT = 45^\circ$、$\angle ABC = 75^\circ$とする。

1. 問題の内容

直線ATが点Aで円Oに接しているとき、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求めよ。ただし、$\angle ABT = 45^\circ$、$\angle ABC = 75^\circ$とする。

2. 解き方の手順

$\angle y$について:

接弦定理より、$\angle y$は弧ABに対する円周角$\angle ACB$と等しい。

$\angle ACB = \angle x$なので、$\angle y = \angle x$となる。

$\angle x$について:

$\angle CBA = 75^\circ$である。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle CAB$を求める。

$\angle CAT = 45^\circ$なので、$\angle CAB + \angle BAT = 180^\circ$となる。

ここで、$\angle BAT = 45^\circ$であるから$\angle CAB=180^{\circ}-\angle ABC - \angle BCA=180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$

$\angle x$は$\angle CAB$を求めることと同じであるので$60^{\circ}$。

3. 最終的な答え

$\angle x = 60^\circ$

$\angle y = 45^\circ$