問題は、次の定積分を計算することです。 $I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$ これはディリクレ積分として知られています。

1. 問題の内容

問題は、次の定積分を計算することです。

$I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$

これはディリクレ積分として知られています。

2. 解き方の手順

この積分は、いくつかの方法で解くことができます。ここでは、ラプラス変換を用いる方法を示します。

(1) パラメータ $t$ を導入して、次のような関数を定義します。

$I(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-tx} \frac{\sin(x)}{x} dx$

ここで、$t \ge 0$ です。求める積分は $I(0)$ に相当します。

(2) $I(t)$ を $t$ で微分します。

$\frac{dI(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \int_{0}^{\infty} e^{-tx} \frac{\sin(x)}{x} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t} (e^{-tx} \frac{\sin(x)}{x}) dx$

$\frac{dI(t)}{dt} = \int_{0}^{\infty} -xe^{-tx} \frac{\sin(x)}{x} dx = -\int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin(x) dx$

(3) この積分を計算します。部分積分を2回行うか、ラプラス変換の公式を使用します。$\int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin(x) dx = \frac{1}{t^2 + 1}$.

したがって、

$\frac{dI(t)}{dt} = -\frac{1}{t^2 + 1}$

(4) この式を積分して、$I(t)$ を求めます。

$I(t) = \int -\frac{1}{t^2 + 1} dt = -\arctan(t) + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

(5) $t \to \infty$ の極限を考えます。$I(\infty) = \int_{0}^{\infty} e^{-\infty x} \frac{\sin(x)}{x} dx = 0$.

一方、$-\arctan(\infty) + C = -\frac{\pi}{2} + C$.

したがって、$0 = -\frac{\pi}{2} + C$, よって、$C = \frac{\pi}{2}$.

したがって、$I(t) = -\arctan(t) + \frac{\pi}{2}$.

(6) $t = 0$ の場合を考えます。

$I(0) = -\arctan(0) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$