与えられた数式を展開、因数分解、もしくは与えられた条件から値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式を展開、因数分解、もしくは与えられた条件から値を求める問題です。

2. 解き方の手順

[1] (1) $(x-3y+2)(x-3y-2)$ を展開します。これは $(A+2)(A-2)$ の形なので、$A^2 - 4$ を利用します。ここで $A = x-3y$ です。

$(x-3y)^2 - 4 = x^2 - 6xy + 9y^2 - 4$

よって、係数を埋めると

$x^2 - 6xy + 9y^2 - 4$

(2) $(x+1)(x^2+2x+1)$ を展開します。ここで、$x^2+2x+1 = (x+1)^2$ なので、$(x+1)(x+1)^2 = (x+1)^3$ を計算します。

$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

よって、係数を埋めると

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

[2] (1) $6x^2 - 11x - 10$ を因数分解します。

$6x^2 - 11x - 10 = (2x - 5)(3x + 2)$

よって、係数を埋めると

$(2x - 5)(3x + 2)$

(2) $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$ を因数分解します。まず、$x^2$と$xy$と$y^2$の項に着目して$(x+ay)(x+by)$の形になると予想すると、$ab = -6$かつ$a+b=-1$なので、$a=2$, $b=-3$または$a=-3$, $b=2$となります。

試しに$(x+2y)(x-3y)$として残りの項を調整します。

$(x+2y+m)(x-3y+n) = x^2 -xy -6y^2 + (m+n)x + (2n-3m)y + mn$

これと$x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$を比較して、

$m+n = -4$

$2n-3m = 7$

$mn = 3$

これを解くと$m=-3$, $n=-1$となります。

よって、$x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3 = (x + 2y - 3)(x - 3y - 1)$

よって、係数を埋めると

$(x + 2y - 3)(x - 3y - 1)$

[3] $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ のとき、$x+y$と$xy$を求めます。

$x+y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}$

$xy = (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$

よって、$x+y = 2\sqrt{2}$, $xy = -1$

[4] 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解きます。

まず、$0.4 < 0.1x + 1$ を解きます。

$0.4 < 0.1x + 1$

$-0.6 < 0.1x$

$-6 < x$

次に、$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解きます。

$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + 1.4$

$0.1x - 0.5x < 1.4 - 1$

$-0.4x < 0.4$

$x > -1$

よって、$-6 < x$ かつ $x > -1$ なので、$x > -1$

3. 最終的な答え

[1] (1) $x^2 - 6xy + 9y^2 - 4$

(2) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

[2] (1) $(2x - 5)(3x + 2)$

(2) $(x + 2y - 3)(x - 3y - 1)$

[3] $x+y = 2\sqrt{2}$, $xy = -1$

[4] $x > -1$