問題は2次関数に関するもので、以下の3つの小問があります。 (1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、頂点の座標と軸の方程式を求め、定義域における最大値と最小値とその時の $x$ の値を求めます。 (2) 2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、$a > 0$ のとき、最大値が7となる $a$ の値を求め、最小値が-6となる $a$ の値を求めます。 (3) 放物線 $y = x^2$ を、2点(2, 3), (5, 0)を通るように平行移動したときの2次関数を求めます。

1. 問題の内容

問題は2次関数に関するもので、以下の3つの小問があります。

(1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、頂点の座標と軸の方程式を求め、定義域における最大値と最小値とその時の $x$ の値を求めます。

(2) 2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、$a > 0$ のとき、最大値が7となる $a$ の値を求め、最小値が-6となる $a$ の値を求めます。

(3) 放物線 $y = x^2$ を、2点(2, 3), (5, 0)を通るように平行移動したときの2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ を平方完成します。

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10$

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10$

$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 9 + 10$

$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 + 1$

よって、頂点の座標は(6, 1)で、軸は直線 $x = 6$ です。

定義域は $2 \le x \le 8$ です。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(2-6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(16) + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{4}(8-6)^2 + 1 = \frac{1}{4}(4) + 1 = 1 + 1 = 2$

頂点の $y$ 座標は1なので、$x = 2$ のとき最大値5をとり、$x = 6$ のとき最小値1をとります。

(2)

$y = ax^2 - 4ax + 2 = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

軸は $x = 2$ で、定義域は $1 \le x \le 5$ です。

$a > 0$ なので、下に凸のグラフになります。

(1) 最大値が7のとき、$x = 5$ で最大値をとります。

$a(5 - 2)^2 - 4a + 2 = 7$

$9a - 4a + 2 = 7$

$5a = 5$

$a = 1$

(2) 最小値が-6のとき、$x = 2$ で最小値をとります。

$-4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

(3)

求める2次関数を $y = x^2 + bx + c$ とします。

(2, 3)を通るので、$4 + 2b + c = 3$

(5, 0)を通るので、$25 + 5b + c = 0$

2つの式を引き算すると、$21 + 3b = -3$

$3b = -24$

$b = -8$

$4 + 2(-8) + c = 3$

$4 - 16 + c = 3$

$-12 + c = 3$

$c = 15$

よって、$y = x^2 - 8x + 15$

3. 最終的な答え

(1)

頂点の座標: $(6, 1)$

軸: $x = 6$

$x = 2$ で最大値 $5$

$x = 6$ で最小値 $1$

(2)

最大値が7のとき: $a = 1$

最小値が-6のとき: $a = 2$

(3)

$y = x^2 - 8x + 15$