与えられた行列 $Z$ に対して、$Z$ の転置行列 $Z^T$ と $Z$ の積 $Z^T Z$ を計算し、そのトレースを求める。ここで、行列 $Z$ は $$ Z = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} $$ で与えられます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $Z$ に対して、$Z$ の転置行列 $Z^T$ と $Z$ の積 $Z^T Z$ を計算し、そのトレースを求める。ここで、行列 $Z$ は

$$$$

Z = \begin{bmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\

\sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\

0 & \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}

$$$$

で与えられます。

2. 解き方の手順

まず、$Z$ の転置行列 $Z^T$ を求めます。$Z^T$ は $Z$ の行と列を入れ替えることで得られます。

$$$$

Z^T = \begin{bmatrix}

\cos\theta & \sin\theta & 0 \\

-\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \sin\phi \\

\sin\theta\sin\phi & -\cos\theta\sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}

$$$$

次に、$Z^T Z$ を計算します。

$$$$

Z^T Z = \begin{bmatrix}

\cos\theta & \sin\theta & 0 \\

-\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \sin\phi \\

\sin\theta\sin\phi & -\cos\theta\sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\

\sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\

0 & \sin\phi & \cos\phi

\end{bmatrix}

$$$$

各要素を計算すると、

$$$$

\begin{aligned}

(Z^T Z)_{11} &= \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \\

(Z^T Z)_{22} &= \sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta\cos^2\phi + \sin^2\phi = \cos^2\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \sin^2\phi = \cos^2\phi + \sin^2\phi = 1 \\

(Z^T Z)_{33} &= \sin^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\phi = \sin^2\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \cos^2\phi = \sin^2\phi + \cos^2\phi = 1 \\

(Z^T Z)_{12} &= -\cos\theta\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\cos\theta\cos\phi = 0 \\

(Z^T Z)_{13} &= \cos\theta\sin\theta\sin\phi - \sin\theta\cos\theta\sin\phi = 0 \\

(Z^T Z)_{21} &= -\sin\theta\cos\theta\cos\phi + \cos\theta\sin\theta\cos\phi = 0 \\

(Z^T Z)_{31} &= \sin\theta\cos\theta\sin\phi - \cos\theta\sin\theta\sin\phi = 0 \\

(Z^T Z)_{23} &= -\sin\theta\cos\phi\sin\theta\sin\phi - \cos\theta\cos\phi\cos\theta\sin\phi + \sin\phi\cos\phi = -\sin\theta\sin\phi \sin\theta \cos\phi - \cos\theta\sin\phi \cos\theta \cos\phi + \sin\phi\cos\phi= -\sin\phi \cos\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \sin\phi\cos\phi = -\sin\phi \cos\phi + \sin\phi\cos\phi = 0 \\

(Z^T Z)_{32} &= \sin\theta\sin\phi(-\sin\theta\cos\phi) + (-\cos\theta\sin\phi)\cos\theta\cos\phi + \cos\phi\sin\phi = -\sin\phi \cos\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \sin\phi\cos\phi = -\sin\phi \cos\phi + \sin\phi\cos\phi = 0

\end{aligned}

$$$$

したがって、

$$$$

Z^T Z = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix} = I

$$$$

$Z^T Z$ のトレースは、対角成分の和です。

$$$$

\text{Tr}(Z^T Z) = 1 + 1 + 1 = 3

$$$$

3. 最終的な答え

トレースは3です。