放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ …① について、以下の問題を解きます。 (1) 放物線①の頂点の座標、軸の方程式を求め、グラフを描きます。 (2) 放物線①を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めます。 (3) 放物線①のグラフを$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動し、さらに$y$軸に関して対称移動すると放物線 $y = x^2 + 4x + 1$ になりました。$p, q$の値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ …① について、以下の問題を解きます。

(1) 放物線①の頂点の座標、軸の方程式を求め、グラフを描きます。

(2) 放物線①を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めます。

(3) 放物線①のグラフを$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動し、さらに$y$軸に関して対称移動すると放物線 $y = x^2 + 4x + 1$ になりました。$p, q$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 1 + 2$

$y = (x - 1)^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(1, 1)$ で、軸の方程式は $x = 1$ です。

グラフは、頂点が$(1, 1)$で、下に凸の放物線になります。

(2) 放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を原点に関して対称移動すると、$(x, y)$ が $(-x, -y)$ に移ります。

元の式に $x \rightarrow -x$, $y \rightarrow -y$ を代入すると、

$-y = (-x)^2 - 2(-x) + 2$

$-y = x^2 + 2x + 2$

$y = -x^2 - 2x - 2$

(3) 放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動すると、

$y - q = (x - p)^2 - 2(x - p) + 2$

$y = (x - p)^2 - 2(x - p) + 2 + q$

$y = x^2 - 2px + p^2 - 2x + 2p + 2 + q$

$y = x^2 - 2(p + 1)x + p^2 + 2p + 2 + q$

この放物線を$y$軸に関して対称移動すると、$x \rightarrow -x$ となるので、

$y = (-x)^2 - 2(p + 1)(-x) + p^2 + 2p + 2 + q$

$y = x^2 + 2(p + 1)x + p^2 + 2p + 2 + q$

この放物線が $y = x^2 + 4x + 1$ と一致するので、係数を比較して、

$2(p + 1) = 4$

$p^2 + 2p + 2 + q = 1$

一つ目の式から、$p + 1 = 2$, よって $p = 1$。

二つ目の式に $p = 1$ を代入すると、$1 + 2 + 2 + q = 1$, よって $5 + q = 1$, $q = -4$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(1, 1)$、軸の方程式：$x = 1$

(2) $y = -x^2 - 2x - 2$

(3) $p = 1$, $q = -4$