関数 $f(x) = |4^{x-1} + 4^{-x+1} - 14| - |2^{x-1} + 2^{-x+1} - 4|$ が与えられている。 (1) $t = 2^{x-1} + 2^{-x+1}$ とおいたとき、$t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。また、$t=4$ を満たす $x$ の値を求めよ。 (2) $1+\text{ス} < x < 1 + \text{セ}$ のとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表せ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |4^{x-1} + 4^{-x+1} - 14| - |2^{x-1} + 2^{-x+1} - 4|$ が与えられている。

(1) $t = 2^{x-1} + 2^{-x+1}$ とおいたとき、$t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。また、$t=4$ を満たす $x$ の値を求めよ。

(2) $1+\text{ス} < x < 1 + \text{セ}$ のとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$t = 2^{x-1} + 2^{-x+1}$ に対して、$a=2^{x-1}$ とおくと、$t = a + \frac{4}{a}$ となる。

相加相乗平均の関係より、$a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 4$ となる。

等号成立条件は、$a = \frac{4}{a}$、すなわち、$a^2 = 4$、$a=2$ （$a>0$ より）。

$2^{x-1} = 2$ より、$x-1 = 1$、$x=2$。

よって、$t$ は $x=2$ のとき最小値 $4$ をとる。

次に、$t=4$ を満たす $x$ の値を求める。

$2^{x-1} + 2^{-x+1} = 4$

$2^{x-1} + \frac{4}{2^{x-1}} = 4$

$y = 2^{x-1}$ とおくと、$y + \frac{4}{y} = 4$

$y^2 - 4y + 4 = 0$

$(y-2)^2 = 0$

$y = 2$

$2^{x-1} = 2$

$x-1 = 1$

$x = 2$

$t=4$を満たす$x$の値は$2$なので、$1+1$となる。

$t=4$を満たす$x$の値は1つなので、この値が答えになる。

(2)

$f(x) = |4^{x-1} + 4^{-x+1} - 14| - |2^{x-1} + 2^{-x+1} - 4|$

ここで、$t = 2^{x-1} + 2^{-x+1}$ であるから、

$t^2 = (2^{x-1} + 2^{-x+1})^2 = (2^{x-1})^2 + 2 \cdot 2^{x-1} \cdot 2^{-x+1} + (2^{-x+1})^2 = 4^{x-1} + 4 + 4^{-x+1}$

よって、$4^{x-1} + 4^{-x+1} = t^2 - 4$

したがって、$f(x) = |t^2 - 4 - 14| - |t - 4| = |t^2 - 18| - |t - 4|$

$1+\text{ス} < x < 1 + \text{セ}$、すなわち $1+1 < x < 1+1$ より、$2<x<2$。これはありえない。

しかし、問題文の条件から、$\text{ス} < \text{セ}$でなければならない。

$t = 2^{x-1} + 2^{-x+1}$ なので、$1 < x < 3$ のときを考える。

$x=1$のとき、$t = 2^0 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$x=3$のとき、$t = 2^2 + 2^{-2} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} = 4.25$

$2 < x < 2$ では、$t=4$ であるから、$4 < t < 5$。

このとき、$t-4>0$ であるから、$|t-4|=t-4$。

$t^2 < 25$ であるから、$t^2 - 18 < 0$。したがって、$|t^2 - 18| = -(t^2 - 18) = 18 - t^2$。

よって、$f(x) = 18 - t^2 - (t - 4) = 18 - t^2 - t + 4 = -t^2 - t + 22$

3. 最終的な答え

サ: 2

シ: 4

ス: 1

セ: 1

ソ: $-t^2 - t + 22$