正の整数 $n$ に対して、$x = \frac{n^3}{2400}$ とする。 (ア) $x$ が整数となる最小の $n$ を求めよ。 (イ) $\sqrt{x}$ が整数となる最小の $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、$x = \frac{n^3}{2400}$ とする。

(ア) $x$ が整数となる最小の $n$ を求めよ。

(イ) $\sqrt{x}$ が整数となる最小の $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) $x = \frac{n^3}{2400}$ が整数となるためには、$n^3$ が 2400 の倍数でなければならない。

2400 を素因数分解すると、

$2400 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2$ である。

したがって、$n^3$ は $2^5 \cdot 3 \cdot 5^2$ の倍数でなければならない。

$n^3 = 2^{3k_1} \cdot 3^{3k_2} \cdot 5^{3k_3} \cdot \dots$ の形である必要があり、

$2^{3k_1} \geq 2^5$, $3^{3k_2} \geq 3^1$, $5^{3k_3} \geq 5^2$

を満たす最小の整数 $k_1, k_2, k_3$ を求める。

$3k_1 \geq 5$ より $k_1 \geq \frac{5}{3} = 1.66...$ なので、$k_1 = 2$。したがって、$2^{3k_1} = 2^6$

$3k_2 \geq 1$ より $k_2 \geq \frac{1}{3} = 0.33...$ なので、$k_2 = 1$。したがって、$3^{3k_2} = 3^3$

$3k_3 \geq 2$ より $k_3 \geq \frac{2}{3} = 0.66...$ なので、$k_3 = 1$。したがって、$5^{3k_3} = 5^3$

$n^3 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5)^3 = (4 \cdot 3 \cdot 5)^3 = 60^3$

$n = 60$

(イ) $\sqrt{x} = \sqrt{\frac{n^3}{2400}}$ が整数となるためには、$\frac{n^3}{2400}$ が平方数である必要がある。

$\frac{n^3}{2400} = k^2$ （$k$は整数）

$n^3 = 2400k^2 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot k^2$

$n = 2^{k_1} \cdot 3^{k_2} \cdot 5^{k_3}$ とすると、

$n^3 = 2^{3k_1} \cdot 3^{3k_2} \cdot 5^{3k_3} = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot k^2$

$k^2$ は平方数なので、$2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ とすると、$a, b, c$ は偶数。

したがって、$3k_1 - 5$、$3k_2 - 1$、$3k_3 - 2$ はすべて偶数でなければならない。

$3k_1 - 5$ が偶数となる最小の $k_1$ は、$k_1 = 3$ (このとき、$3k_1 - 5 = 4$)

$3k_2 - 1$ が偶数となる最小の $k_2$ は、$k_2 = 1$ (このとき、$3k_2 - 1 = 2$)

$3k_3 - 2$ が偶数となる最小の $k_3$ は、$k_3 = 2$ (このとき、$3k_3 - 2 = 4$)

したがって、$n = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 600$

$\frac{n^3}{2400} = \frac{600^3}{2400} = \frac{600^3}{2^5 \cdot 3 \cdot 5^2} = \frac{2^9 \cdot 3^3 \cdot 5^6}{2^5 \cdot 3 \cdot 5^2} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^4 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2)^2 = (4 \cdot 3 \cdot 25)^2 = 300^2$

$\sqrt{x} = \sqrt{300^2} = 300$

3. 最終的な答え

ア：60

イ：600