2次方程式 $x^2 - 2mx + 9 = 0$ が $2 < x < 4$ の範囲で異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + 9 = 0$ が $2 < x < 4$ の範囲で異なる2つの実数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2mx + 9$ とおく。

この2次方程式が $2 < x < 4$ の範囲で異なる2つの実数解を持つための条件は、以下の3つである。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸 $2 < m < 4$

(3) $f(2) > 0$ かつ $f(4) > 0$

(1) 判別式 $D > 0$ について:

$D = (-2m)^2 - 4(1)(9) = 4m^2 - 36 > 0$

$m^2 - 9 > 0$

$(m - 3)(m + 3) > 0$

よって、$m < -3$ または $m > 3$

(2) 軸 $2 < m < 4$ について:

軸は $x = m$ なので、$2 < m < 4$

(3) $f(2) > 0$ かつ $f(4) > 0$ について:

$f(2) = 2^2 - 2m(2) + 9 = 4 - 4m + 9 = 13 - 4m > 0$

$4m < 13$

$m < \frac{13}{4} = 3.25$

$f(4) = 4^2 - 2m(4) + 9 = 16 - 8m + 9 = 25 - 8m > 0$

$8m < 25$

$m < \frac{25}{8} = 3.125$

以上の条件をすべて満たす $m$ の範囲を求める。

(1) $m < -3$ または $m > 3$

(2) $2 < m < 4$

(3) $m < \frac{13}{4}$ かつ $m < \frac{25}{8}$

(1), (2) より、$3 < m < 4$

(3) より、$m < \frac{25}{8}$

したがって、$3 < m < \frac{25}{8}$

3. 最終的な答え

$3 < m < \frac{25}{8}$