与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 8 & -4 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数 (rank) を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 8 & -4 & -3 & 5 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行基本変形（掃き出し法）によって階段行列に変形したとき、0でない行の数に等しくなります。

1. まず、行列 $A$ を簡約化します。

2. 1行目を8で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 3 & 0 & -2 & 3 \\ -5 & 4 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

3. 2行目から1行目の3倍を引き、3行目に1行目の5倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \end{bmatrix}$

4. 3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -3/8 & 5/8 \\ 0 & 3/2 & -7/8 & 9/8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

階段行列に変形できました。0でない行は2行なので、階数は2です。

3. 最終的な答え

行列 $A$ の階数は 2 です。