与えられた式の二重根号を外して簡単にせよ。具体的には、以下の3つの問題を解く。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

1. 問題の内容

与えられた式の二重根号を外して簡単にせよ。具体的には、以下の3つの問題を解く。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外す公式は以下の通り。

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ (ただし、$a > b$)

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

$4+2\sqrt{3}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形にすることを考える。

$4 = 3 + 1$, $3 = 3 \times 1$ なので、$a=3$, $b=1$ とすると、$4+2\sqrt{3} = 3 + 1 + 2\sqrt{3\times 1}$ となる。したがって、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+1+2\sqrt{3\times 1}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

$5-2\sqrt{6}$ を $a+b-2\sqrt{ab}$ の形にすることを考える。

$5 = 3 + 2$, $6 = 3 \times 2$ なので、$a=3$, $b=2$ とすると、$5-2\sqrt{6} = 3 + 2 - 2\sqrt{3\times 2}$ となる。したがって、

$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{3+2-2\sqrt{3\times 2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

$\sqrt{9+\sqrt{56}}$ を $\sqrt{9+2\sqrt{14}}$ に変形する。これは、$\sqrt{56}=2\sqrt{14}$だからである。

$9+2\sqrt{14}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形にすることを考える。

$9 = 7 + 2$, $14 = 7 \times 2$ なので、$a=7$, $b=2$ とすると、$9+2\sqrt{14} = 7 + 2 + 2\sqrt{7\times 2}$ となる。したがって、

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{7+2+2\sqrt{7\times 2}} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$