与えられたベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ を、大きさ $r$ と角度 $t$ を用いて $\mathbf{a} = r \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$ と表すことに関する問題です。Q8, Q9, Q10では、この表現の正誤、具体的な $r^2$, $\cos t$, $\sin t$ の値を求めることが問われています。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ を、大きさ $r$ と角度 $t$ を用いて $\mathbf{a} = r \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$ と表すことに関する問題です。Q8, Q9, Q10では、この表現の正誤、具体的な $r^2$, $\cos t$, $\sin t$ の値を求めることが問われています。

2. 解き方の手順

Q8:

ベクトル $\mathbf{a} = r \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$ の両辺のノルムを比較します。

$\| \mathbf{a} \| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

$\| r \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} \| = r \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = r$

したがって、$r = \sqrt{10}$ となります。

$r^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$ なので、$r^2 = 10$ となります。

Q9:

$\cos t$ と $\sin t$ を求めます。

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} = \sqrt{10} \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$

これから、

$3 = \sqrt{10} \cos t$

$1 = \sqrt{10} \sin t$

$\cos t = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$\sin t = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Q10:

Q7の式 $\mathbf{a} = r \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$ は、ベクトル $\mathbf{a}$ を大きさ $r$ と方向 $t$ で表した式であり、複素数を極形式で表すことと類似しています。したがって、この記述は正しいです。

3. 最終的な答え

Q8: $r^2 = 10$

Q9: $\cos t = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\sin t = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Q10: 正しい