$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos 2\theta = \frac{7}{9}$ である。 (1) $\sin 2\theta$ の値を求めよ。 (2) 半角の公式を利用して $\cos \theta$ の値を求めよ。 (3) 加法定理を利用して $\sin 3\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos 2\theta = \frac{7}{9}$ である。

(1) $\sin 2\theta$ の値を求めよ。

(2) 半角の公式を利用して $\cos \theta$ の値を求めよ。

(3) 加法定理を利用して $\sin 3\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2\theta$ の値を求める。

$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = 1$ を利用する。

$\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta = 1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81-49}{81} = \frac{32}{81}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < 2\theta < \pi$ であるから、$\sin 2\theta > 0$ となる。

よって、$\sin 2\theta = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{32}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

(2) 半角の公式を利用して $\cos \theta$ の値を求める。

半角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を利用する。

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \theta > 0$ であるから、$\cos \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) 加法定理を利用して $\sin 3\theta$ の値を求める。

$\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta) = \sin 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta \sin \theta$

$\sin \theta$ の値を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin \theta > 0$ であるから、$\sin \theta = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

よって、

$\sin 3\theta = \sin 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta \sin \theta = \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 2}{27} + \frac{7}{27} = \frac{16+7}{27} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

(2) $\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\sin 3\theta = \frac{23}{27}$