* 問題3: 行基本変形を用いて上三角行列を作成し、次の行列式の値を計算します。 * 問題4: サラスの公式を用いて、与えられた3x3行列の行列式を計算します。 * 問題5: 与えられた行列の行列式の値を計算します。

以下に、提示された問題に対する解答を示します。

1. 問題の内容

* 問題3: 行基本変形を用いて上三角行列を作成し、次の行列式の値を計算します。

* 問題4: サラスの公式を用いて、与えられた3x3行列の行列式を計算します。

* 問題5: 与えられた行列の行列式の値を計算します。

2. 解き方の手順

* **問題3 (1)**

与えられた行列は以下の通りです。

$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 0 \\

2 & 6 & 6 & 1 \\

-1 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 7

\end{vmatrix}

$

1行目を-2倍して2行目に加えます。次に1行目を1倍して3行目に加えます。

$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 0 \\

0 & 2 & 0 & 1 \\

0 & 2 & 3 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 7

\end{vmatrix}

$

2行目を-1倍して3行目に加えます。次に2行目を-1倍して4行目に加えます。

$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 0 \\

0 & 2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 3 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 6

\end{vmatrix}

$

行列式は対角成分の積で求められます。

$1 * 2 * 3 * 6 = 36$

* **問題3 (2)**

与えられた行列は以下の通りです。

$

\begin{vmatrix}

2 & -1 & 0 & 0 \\

-1 & 2 & -1 & 0 \\

0 & -1 & 2 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 2

\end{vmatrix}

$

この行列の行列式は5です。問題3のヒントとして、問題3(1)と問題3(2)の答えを足すと41になると言及されています。

* **問題4**

与えられた行列は以下の通りです。

$

\begin{vmatrix}

b^2+c^2 & ab & ca \\

ab & c^2+a^2 & bc \\

ca & bc & a^2+b^2

\end{vmatrix}

$

サラスの公式を用いると、

$(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2) + (ab)(bc)(ca) + (ca)(ab)(bc) - (ca)(c^2+a^2)(ca) - (b^2+c^2)(bc)(bc) - (ab)(ab)(a^2+b^2)$

$= (b^2+c^2)(c^2a^2+c^2b^2+a^4+a^2b^2) + a^2b^2c^2 + a^2b^2c^2 - c^4a^2 - c^2a^4 - b^2b^2c^2 - b^2c^4 - a^4b^2 - a^2b^4$

$= a^4b^2 + a^2b^4 + b^4c^2 + b^2c^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + a^2b^2c^2 + a^2b^2c^2 - a^4c^2 - a^2c^4 - b^4c^2 - b^2c^4 - a^4b^2 - a^2b^4 + 2a^2b^2c^2$

$= 4a^2b^2c^2$

* **問題5 (1)**

与えられた行列は以下の通りです。

$

\begin{vmatrix}

1 & u & v \\

0 & a & b \\

0 & c & d

\end{vmatrix}

$

行列式は $1 * (ad - bc) = ad - bc$

* **問題5 (2)**

与えられた行列は以下の通りです。

$

\begin{vmatrix}

\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\

\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\

\cos\theta & -r\sin\theta & 0

\end{vmatrix}

$

$\sin\theta\cos\phi(r\sin\theta\cos\phi \times 0 - r\sin\theta\sin\phi \times (-r\sin\theta)) - r\cos\theta\cos\phi (\sin\theta\sin\phi \times 0 - r\sin\theta\cos\phi \times \cos\theta) + -r\sin\theta\sin\phi (\sin\theta\sin\phi \times (-r\sin\theta) - r\cos\theta\sin\phi \times \cos\theta)$

$= \sin\theta\cos\phi(r^2\sin^2\theta\sin\phi) - r\cos\theta\cos\phi(-r\sin\theta\cos\theta\cos\phi) + -r\sin\theta\sin\phi(-r\sin^2\theta\sin\phi - r\cos^2\theta\sin\phi)$

$= r^2\sin^3\theta\cos\phi\sin\phi + r^2\sin\theta\cos^2\theta\cos^2\phi + r^2\sin^3\theta\sin^2\phi + r^2\sin\theta\cos^2\theta\sin^2\phi$

$= r^2\sin^3\theta(\cos\phi\sin\phi+\sin^2\phi) + r^2\sin\theta\cos^2\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)$

$= r^2\sin^3\theta + r^2\sin\theta\cos^2\theta$

$= r^2\sin\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = r^2\sin\theta$

* **問題5 (3)**

与えられた行列は以下の通りです。

$

\begin{vmatrix}

a & a & a-b & a+b \\

a & a & a+b & a-b \\

a-b & a+b & a & a \\

a+b & a-b & a & a

\end{vmatrix}

$

1列目から2列目を引きます。

$

\begin{vmatrix}

0 & a & a-b & a+b \\

0 & a & a+b & a-b \\

-2b & a+b & a & a \\

2b & a-b & a & a

\end{vmatrix}

$

1行目を-1倍して2行目に加えます。

$

\begin{vmatrix}

0 & a & a-b & a+b \\

0 & 0 & 2b & -2b \\

-2b & a+b & a & a \\

2b & a-b & a & a

\end{vmatrix}

$

1行目と3行目を入れ替えます。

$

\begin{vmatrix}

-2b & a+b & a & a \\

0 & 0 & 2b & -2b \\

0 & a & a-b & a+b \\

2b & a-b & a & a

\end{vmatrix}

$

1行目を1倍して4行目に加えます。

$

\begin{vmatrix}

-2b & a+b & a & a \\

0 & 0 & 2b & -2b \\

0 & a & a-b & a+b \\

0 & 2a & 2a & 2a

\end{vmatrix}

$

2aを括り出します。

$2a\begin{vmatrix}

-2b & a+b & a & a \\

0 & 0 & 2b & -2b \\

0 & a & a-b & a+b \\

0 & 1 & 1 & 1

\end{vmatrix}

$

$ -2b * \begin{vmatrix}

0 & 2b & -2b \\

a & a-b & a+b \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix}$

$= -2b (0(a-b-a-b) -2b (a-1) + -2b (a-a+b))$

$= -2b (4b^2+2b-2ab) =-4ab$

* **問題5 (4)**

与えられた行列は以下の通りです。

$

\begin{vmatrix}

1 & a & a^2 \\

1 & b & b^2 \\

1 & c & c^2

\end{vmatrix}

$

これはヴァンデルモンド行列であり、行列式は $(b-a)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

* 問題3 (1): 36

* 問題3 (2): 5

* 問題4: $4a^2b^2c^2$

* 問題5 (1): $ad - bc$

* 問題5 (2): $r^2\sin\theta$

* 問題5 (3): $4ab^2$

* 問題5 (4): $(b-a)(c-a)(c-b)$