$a < 0$とし、$f(x) = ax^2 + 2x + 2$、$g(x) = -\frac{2}{3}x + 4$とする。不等式$f(x) \geq g(x)$を満たす$x$の範囲が$1 \leq x \leq b$であるとき、定数$a, b$の値を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

$a < 0$とし、$f(x) = ax^2 + 2x + 2$、$g(x) = -\frac{2}{3}x + 4$とする。不等式$f(x) \geq g(x)$を満たす$x$の範囲が$1 \leq x \leq b$であるとき、定数$a, b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) \geq g(x)$ を変形する。

$ax^2 + 2x + 2 \geq -\frac{2}{3}x + 4$

$ax^2 + 2x + \frac{2}{3}x + 2 - 4 \geq 0$

$ax^2 + \frac{8}{3}x - 2 \geq 0$

両辺を3倍して

$3ax^2 + 8x - 6 \geq 0$

これは、$1 \leq x \leq b$で成り立つので、$3ax^2 + 8x - 6 = 0$の解が$x = 1$と$x = b$である。

$x = 1$を代入すると、

$3a(1)^2 + 8(1) - 6 = 0$

$3a + 8 - 6 = 0$

$3a + 2 = 0$

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

$a = -\frac{2}{3}$を$3ax^2 + 8x - 6 = 0$に代入すると、

$3(-\frac{2}{3})x^2 + 8x - 6 = 0$

$-2x^2 + 8x - 6 = 0$

両辺を-2で割ると、

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x = 1, 3$

したがって、$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{2}{3}$

$b = 3$