平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの延長線上に点Eがあり、線分AEと線分CDの交点をFとする。このとき、$\triangle DEF$と$\triangle BCF$が合同であることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの延長線上に点Eがあり、線分AEと線分CDの交点をFとする。このとき、$\triangle DEF$と$\triangle BCF$が合同であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\triangle DEF$と$\triangle BCF$において、

* 仮定より、四角形ABCDは平行四辺形なので、$AD // BC$。よって、$DF // BE$となり、$\angle DFE = \angle FEB$（錯角が等しい）。また、$\angle ADF = \angle CBE$ （錯角が等しい）

したがって、$\angle DFE = \angle CFB$

* 対頂角は等しいので、$\angle DFE = \angle BFC$。

* 平行四辺形の対辺は等しいので、$AD=BC$。

また、$AD // BC$より、$DF // BC$なので、$\angle ADF = \angle CBE$（錯角）

* 次に、$\triangle ADF$と$\triangle ECF$において、$AD=BC$、$\angle ADF = \angle ECF$、$\angle DFA = \angle EFC$（対頂角）より、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ADF \equiv \triangle ECF$

よって、$DF = CF$

* $\triangle DEF$と$\triangle BCF$において、$\angle DFE = \angle BFC$、$DF=CF$

$\angle EDF = \angle CBF$

したがって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle DEF \equiv \triangle BCF$

3. 最終的な答え

$\triangle DEF \equiv \triangle BCF$