実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x - 5$, $y \leq x - 1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めよ。

## (1) の問題

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x - 5$, $y \leq x - 1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式が表す領域を図示します。

* $y \geq 2x - 5$

* $y \leq x - 1$

* $y \geq 0$

これらの不等式を満たす領域は、3本の直線で囲まれた三角形になります。この三角形の頂点の座標を求めます。

(1) $y = 2x - 5$ と $y = x - 1$ の交点

$2x - 5 = x - 1$ より、 $x = 4$。よって、$y = 4 - 1 = 3$。交点は $(4, 3)$。

(2) $y = 2x - 5$ と $y = 0$ の交点

$2x - 5 = 0$ より、$x = \frac{5}{2}$。交点は $(\frac{5}{2}, 0)$。

(3) $y = x - 1$ と $y = 0$ の交点

$x - 1 = 0$ より、$x = 1$。交点は $(1, 0)$。

よって、領域の頂点は $(4, 3)$, $(\frac{5}{2}, 0)$, $(1, 0)$ です。

次に、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めます。これは、点 $(x, y)$ と点 $(0, 3)$ との距離の二乗を表しています。したがって、頂点 $(4, 3)$, $(\frac{5}{2}, 0)$, $(1, 0)$ のそれぞれについて、$x^2 + (y - 3)^2$ の値を計算します。

* $(4, 3)$ のとき: $4^2 + (3 - 3)^2 = 16 + 0 = 16$

* $(\frac{5}{2}, 0)$ のとき: $(\frac{5}{2})^2 + (0 - 3)^2 = \frac{25}{4} + 9 = \frac{25 + 36}{4} = \frac{61}{4} = 15.25$

* $(1, 0)$ のとき: $1^2 + (0 - 3)^2 = 1 + 9 = 10$

したがって、最大値は16、最小値は10となります。

3. 最終的な答え

最大値: 16

最小値: 10

## (2) の問題

1. 問題の内容

座標平面において、2つの不等式 $x^2 + y^2 \leq 4$, $y \leq 2x + 2$ を同時に満たす領域をAとする。点 $(x, y)$ が領域Aを動くとき, $y - x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 \leq 4$ は原点を中心とする半径2の円の内部と境界を表し、$y \leq 2x + 2$ は直線 $y = 2x + 2$ の下側と境界を表します。

次に、$k = y - x$ とおき、$y = x + k$ を考えます。この直線が領域Aと共有点を持つときの $k$ の最大値と最小値を求めれば良いことになります。

$y = x + k$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入して、

$x^2 + (x + k)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 4$

$2x^2 + 2kx + k^2 - 4 = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ であることです。

$D = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 4) = 4k^2 - 8k^2 + 32 = -4k^2 + 32 \geq 0$

$4k^2 \leq 32$

$k^2 \leq 8$

$-\sqrt{8} \leq k \leq \sqrt{8}$

$-2\sqrt{2} \leq k \leq 2\sqrt{2}$

したがって、$y - x$ の最大値は $2\sqrt{2}$ です。これは、直線 $y = x + 2\sqrt{2}$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ と接するときの $k$ の値です。

次に、直線 $y = x + k$ が領域 A と交点を持ちながら傾きが直線 $y=2x+2$より下になる場合、交点におけるkの最小値は、直線 $y=2x+2$ と $y=x+k$ が交わる点となります。$x+k = 2x+2$より、$x=k-2$、$y=x+k = 2k-2$となります。これらの点が、$x^2 + y^2 \leq 4$を満たす必要があるので、

$(k-2)^2 + (2k-2)^2 \leq 4$

$k^2-4k+4 + 4k^2 - 8k + 4 \leq 4$

$5k^2 - 12k + 4 \leq 0$

$(5k-2)(k-2) \leq 0$

よって、$2/5 \leq k \leq 2$

直線 $y = x + k$ が点 $(x, y) = (-2, -2)$を通るとき、$y \leq 2x + 2$ の条件に違反するので、$(-2, -2)$ は領域 A に含まれません。

直線 $y=x+k$が領域Aと共有点を持つ時のkの最小値を求める為に、円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = 2x + 2$ の交点を求めます。$x^2 + (2x+2)^2 = 4$より、$x^2 + 4x^2+8x+4 = 4$、$5x^2 + 8x = 0$、$x(5x+8)=0$より$x = 0, -8/5$になります。$x=0$の時、$y=2x+2=2$, $x=-8/5$の時、$y=2x+2=-6/5$。つまり、二つの交点は$(0, 2), (-8/5, -6/5)$です。

これらの点での $k = y - x$ の値を計算します。

* $(0, 2)$の時: $k = 2 - 0 = 2$

* $(-8/5, -6/5)$の時: $k = -6/5 - (-8/5) = 2/5$

よって、$y - x$ の最小値は $\frac{2}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: $2\sqrt{2}$

最小値: $\frac{2}{5}$